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数字高程模型知识点总结

概论

数字地面模型

DEM的定义

是表示区域D上的三维向量有限序列，是以绝对高程或海拔表示的地面模型。是国家基础空间数据的重要组成部分，它表示地表区域上地形的三维向量的有限序列，即地表单元上高程的集合，数学表达为：\(z=f(x，y)\)。

DTM的定义

描述地面诸特性空间分布的有序数值阵列。泛指地形表面自然、人文、社会景观模型。当z为其它二维表面上连续变化的地理特征，如地面温度、降雨、地球磁力、重力、土地利用、土壤类型等其他地面诸特征，此时的DEM成为DTM。

计算机化的高程模型

模型：用来表现其他事物的一个对象或概念，是按比例缩减并转变到我们能够理解的形式的事物本体。

计算机化的高程模型要考虑三个因素：

1. 计算机存储容量（无限到有限，离散化处理）

2. 将模拟数据转化为数字数据（图形图像数据到数字数据）

3. 模型化表达（数据组织）

DEM的地面特性信息

1. 地貌信息

2. 基本地物信息

3. 主要的自然资源和环境信息

4. 主要的社会经济信息

DEM遵循的基本原则

所有这些DEM所包含的任何一个可转换为数字的地面特性数据，都与特定的二维地理坐标数值相结合。

DEM的研究内容

1. 数据组织与管理(DEM数据结构，DEM的数据库系统)
2. 数据采集方法(不同源数据之间DEM的比较)
3. 地形建模与内插技术(TIN的建立，Grid的建立，不同模型间的转化)
4. 地形可视化(二维可视化，三维可视化)
5. 不确定性分析和表达(精度评价)
6. 地形分析与地学应用(水文分析，特征点的提取)

DEM的类型

(1)移动曲面拟合不连续表面

(2)一系列相互邻接的连续表面Grid or TIN

(3)多项式拟合光滑的表面

DEM的特点

1. 精度的恒定性
2. 表达的多样性
3. 更新的实时性
4. 尺度的综合性

数字高程模型的系统结构与功能

数字高程模型的理论和技术组成

DEM操作

DEM操作可保证DEM数据的正确性、现势性和灵活性。

1. DEM修改，增、删、移、拖等
2. DEM滤波，高通滤波，低通滤波
3. DEM转换，不同格式DEM的相互转换
4. DEM聚合，合并，叠加，压缩，重采样

DEM滤波：高通滤波（突出地形结构特征）和低通滤波（实现平滑处理），另外滤波也可以实现DEM数据的压缩、聚合和重采样等。

DEM与GIS的关系

1. 数据采集方法
2. 空间数据内插技术
3. 空间分析组织和管理
4. 空间分析理论与方法

DEM应用范畴与前景

DEM的应用领域

三个方面：地学分析与地学应用、非地学领域、产业化与社会服务

六个领域：科学研究、工业部门、商业领域、管理部门、军事、数字地球

DEM的未来发展

角度	说明
从空间上看	【从地球表面走向地下】2.5D–>2.75D：不仅仅记录一个面，还记录多个地表下的不规则岩层面，扩展到2.75D 【从地球表面走向高空】测量大气中的等压面、等温面–>扩展到别的地理因子，这些面虽然是看不到的，但是可以虚拟存在 【从地球走向外空间】从地球延伸到了月球从时间维
从时间维	【从现在地形到历史地形】 【从现在地形到未来地形】 【单一阶段的地形到多时项地形】
从对象上看	【从自然表面到人工表面】 【从地表面到地下水】 【从丘陵到平原】丘陵的DEM很容易来表达，而平原受到人的影响，很难准确表达 【从地形走向地貌】地形只是一个地表形状的概念，而地貌还考虑了该地区的机理
其他	[数字地形分析研究与应用进展]

DEM数据组织与管理

数字高程模型的数据结构

空间数据模型：对空间对象及其关系的描述，也是根据与应用有关的目标的需要而对空间对象的一种提取。

GIS主要空间数据模型：

1. 从认知角度讲有三类，基于对象的模型、基于网络的模型、基于场的空间数据模型；

2. 从表达上讲，则有矢量数据模型、镶嵌数据模型、组合数据模型。

DEM是基于场的镶嵌数据模型

镶嵌数据模型

规则镶嵌数据模型

概念：

用规则的小面块集合来逼近不规则分布的地形曲面。

优点：

1. 数据结构简单：二维矩阵结构；
2. 隐式坐标存储；
3. 高效的访问效率。

缺点：

对于复杂与简单的地形变化，均采用相同的结构导致数据冗余。

不规则镶嵌数据模型

概念：

用来进行镶嵌的小面块具有不规则的形状和边界

优点：

1. 随空间对象的形态而改变形状；
2. 数据冗余少。

缺点：

数据结构复杂。

规则镶嵌数据模型和不规则镶嵌数据模型的对比

特征嵌入式数据

矢栅混合数据模型中的一种，为将特征要素嵌入到规则或不规则镶嵌数据模型中。

DEM的数据结构

Grid

Grid的组成

1. 元数据：描述DEM一般特征的数据，如名称、边界、测量单位、投影参数等；

2. 数据头：定义DEM起点坐标、坐标类型、格网间隔、行列数等；

3. 数据体：按行列分布记录的高程数字阵列。

Grid结构编码方式

1. 简单矩阵结构：Grid数据在水平方向和垂直方向的间隔相等，格网点的平面坐标隐含在行列号中，按行或列逐一记录每一个格网单元的高程值；
2. 行程编码结构：对于一幅DEM，常常在行或列方向上相邻的若干点具有相同的高程值，从第一列开始，在格网单元数值发生变化时，依次记录该值以及重复的个数，应用时可利用重复个数恢复DEM矩阵；
3. 块状编码结构：行程编码从一维扩展到二维的情况，采用方形区域作为记录单元，每个记录单元包括相邻的若干栅格，数据结构是由记录单元的初始位置（行、列号）、格网单元高程值和方形区域半径所组成的单元组；
4. 四叉树数据结构：首先把一幅图像或栅格地图等分成四部分，逐块检查栅格值，若每个子区中所有栅格值都含有相同值，则不再分割；否则，将该区域再分割成4个子区域。

TIN

若将按地形特征采集的点根据一定规则连接成覆盖整个区域且互不重叠的许多三角形，构成一个不规则三角网TIN。

TIN模型是一种典型的矢量拓扑结构：要存储每个顶点的高程、三角形顶点的平面坐标与顶点之间的连接关系和邻接三角形等拓扑关系。

选择模型的考虑因素

1. 数据的可获取性；
2. 地形曲面特点，是否考虑特征点、线；
3. 目的和应用；
4. 原始数据的比例尺和分辨率。

TIN结构的取舍

1. 一味追求存储量而忽视对拓扑信息的显式表达，这样会导致应用时的信息量不足而影响执行效率，如当要用拓扑关系时需临时生成等；
2. 大量地存储显式关系而导致存储空间过大，不利于大范围的模型建立。

TIN与规则格网混合的结构

在实际应用中，大范围内一般采用规则格网附加地形特征数据，如地形特征点、山脊线、山谷线、断裂线等的形式，构成全局高效、局部完美的DEM。

Grid与TIN的对比

规则格网DEM	不规则三角网TIN
优点	优点
简单的数据存储结构 与遥感影像数据的相合性 良好的表面分析功能	较少的点可获取较高的精度 可变分辨率 良好的拓扑结构
缺点	缺点
计算效率低 数据冗余 格网结构规则	表面分析能力较差 构建费时费力 算法设计比较复杂

元数据

元数据（metadata）是关于数据的数据，它描述数据的内容、质量、状况 和其他特征，帮助人们定位和理解数据。

元数据的作用

1. 可用性，用以确定是否存在关于某个地理位置的一组数据；
2. 适用性。用以评估这组数据是否适用；
3. 存取，用以确定获得验证过的数据的手段；
4. 变换，用以成功地处理变换和使用这组数据。

DEM的数据库结构

数据库结构实质上是一种索引结构，即通过建立空间索引，实现数据库的快速查找、数据存取和分析操作等。

数据库的组织

DEM数据的管理和调度方式，实际上是可视范围（即工作区）的数据管理，可为用户提供宏观、中观、微观等方式的信息服务。

“工程——工作区——图幅”的层次结构索引模式是当前GIS空间数据库组织的常用方式之一

1. 工程：指一个区域内的全部DEM数据。

2. 工作区：当前感兴趣的研究区域。

3. 图幅：按照一定规则对研究区域进行二维划分的结果。是DEM的数据采集、建立、操作和调度的最基本单位。

格网的数据库结构

栅格DEM在数据库中主要采用基于格网单元、分块、分区的层次结构。

TIN的数据库结构

TIN把结点看作数据库中的基本实体，拓扑关系的描述通过在数据库中建立指针系统来表示每个三角形与结点的邻里关系、结点到邻近结点的关系、三角形到邻里三角形的关系等。

元数据的数据库结构

由于元数据是DEMs数据库的说明性文件，全部为文本和数字型数据，一般采用关系型数据库的形式建库，每一条记录对应一个DEM实体数据。

数字高程模型数据库管理——数据组织

DEM中引入空间数据库需要考虑

1. 数据库功能（与数据结构有关）；

2. 空间索引机制；

3. 遵循一般空间数据库原则。

数据管理系统提供数据库访问系统的基本职能

1. 管理数据库；

2. 维护数据库；

3. 数据通信。

DEM数据库的实现方法

基于文件系统和空间索引、基于关系型数据库。

数据库管理技术

1. 细节层次模型LOD：对于矢量数据，预先创建同一个对象的一系列不同分辨率和质量（不同细节层次）的矢量数据模型并保存在数据库中。对于栅格数据，影像的多分辨率概念（影像金字塔）与此是等价的；

2. 渐进描绘技术：用于控制场景质量，一般采取的策略是缩减可见的范围，或者根据细节层次结构简化数据质量；

3. 动态装载技术：如利用组织得很好的数据库和快速数据索引机制以保证能实时提供任何所需的子数据集。

DEM数据库系统功能

参考B/S架构的数据库应用系统，也即三层结构。

数字高程模型数据的数据交换标准

DEMs的数据交换格式的数据文件

DEMs的数据交换格式的数据文件包含两部分：

1. 数据体，采取从北到南，从西到东的顺序，并以ASCII码方式存贮；
2. 文件头分两类数据，一类是基本的必须的数据，一类是扩充的附加信息。

DEMS文件的基本内容和格式如下

内容	数据类型	描述
DataMark	字符型	表示国家空间数据交换格式（DEM交换格式 （NSDSF-DEM））的标志。
Version	数值型	该空间数据交换格式的版本号
Unit	字符型	坐标单位。M表示米，D表示经纬度。
Xo	数值型	左上角原点X坐标。
Yo	数值型	左上角原点Y坐标。
DX	数值型	X方向的间距。
DY	数值型	Y方向的间距。
Row	数值型	行数
Col	数值型	列数
H00,H01……	——	沿行列分布的格网点高程值。
Hzoom	数值型	高程的放大倍率。设置高程的放大倍率，使高程数据可以以整形方式存贮，如高程精度精确到厘米，高程的放大倍率为80

DEM采样理论

地面形状的几何特征

特征点和特征线

1. 地形曲面几何特征：特征要素：特征点与特征线；非特征要素：辅助地形重建加的点与线。
2. 鞍部：山脊上两山间的低浅处。
3. 山脊线：山峰表面上局部最高点的连线。
4. 谷底线：谷地中局部最低点的连线。
5. 变坡点：坡度发生变化的点，在地形剖面上反映了地形的坡度变化趋势。
6. 方向变化点：在平面上刻画地形特征线的走势变化，如山顶点：在地表是山的最高点；谷底点：谷底的最低点。
7. 凸点、凹点：以直角的坡度来变化的点。
8. 断裂线：在特殊情况下坡度突然变化的线
9. 特征点：地形表面的局部极值点，如山顶点、谷底点和鞍部点等。
10. 特征线：特征点的连线，如山脊线、谷底线等。

地形复杂度的描述

地形复杂度可以通过粗糙度和不规则性来描述，可用不同参数来表达，这些参数能够描述地形曲面的总体特征。用于表达地形复杂度的方法：光谱频率、分数维、地形曲率、相似性、坡度。

光谱频率

通过傅立叶变换的方法, 一个面能够从空间领域转换到频 率领域。Frederiksen (1981) 及其同事们分别探讨和估 计了这种来自同样空间的非连续 (剖面) 的频谱数据。谱 频由下面的公式来计算:

\[S(F)=E \times F^a \]

\(\mathrm{F}\) 代表频率，\(\mathrm{S}(\mathrm{F})\) 表示频谱的大小，\(\mathrm{E}\) 和 \(\mathrm{a}\) 是常量。这两个常量是两个统计数字，它们能够用以表达地表的复杂度, 可作为参数而提供很多的地表详尽信息。
If \(a>2\), 地形表现较为光滑;
If \(\mathrm{a}<2\), 地形比较粗糙

分数维

Mandelbrot在 1967 年引进了有效维数的概念, 创立了分数维几何学 (Mandelbrot, 1982)。在 分数几何里, 有效维数就是一个分数, 它称为分 数维或分数的。

\[L=C \times r^{1-D} \]

其中, \(r\) 是用于量测的尺度 (基本单位), \(\mathrm{L}\) 是 量测得的线长度, \(C\) 是一个常数, \(\mathrm{D}\) 为该线的分数维。在计算面的分数维时, 用A面积来取代 \(L, r\) 而则是用于量测的基本面单位:

\[A=C \times r^{2-D} \]

分数维的维数越高，地表的复杂程度越高。

曲率

假设剖面用\(y=f(x)\)表示，那么在\(\mathrm{x}\)处的曲率用下式来计算:

\[c=\frac{d^2 y / d x^2}{\left[1+(d y / d x)^2\right]^{3 / 2}} \]

在这个表达式里，曲率\(c\)和半径成反比，即曲率越大半径越小。因此，曲率越大，地表越粗糙，所以从曲率值的大小可以得到表面粗糙度的信息。这个规律已经在地形分析中应用。

相似性

地形点之间的相似性可以通过协方差或自相关函数来描述。自相关函数的数学表达式为:

\[R(d)=\frac{\operatorname{Cov}(d)}{V} \]

其中，\(R(d)\)是间距\(d\)为的所有地面点之间的相关系数；\(\operatorname{Cov}(d)\) 是间距 \(d\) 为的所有地面点之间的 协方差；\(V\) 是用所有地面点计算得的方差。
通常是： d越大，\(R(d)\) 和 \(\operatorname{Cov}(d)\) 越小。把用不同间距点 \(d\) 算得的 \(R(d)\) 或 \(\operatorname{Cov}(d)\) 值连在一起便成一条协方差或相关系数曲线。这条曲线通常用幂函数或高斯函数来描述。

自相关与地形复杂度：A线比B线趋近零的速度慢，因此A线代表的地形简单一点。 ##### 坡度

坡度则很好地把这水平和垂直维的空间参数联系起来，许多情况下，坡度与波长的组合被作为DEM主要的地形描述算子。

\(\alpha\) 是坡度角 \(\mathrm{h}\) 是高差 \(\mathrm{d}\) 是水平距离

\[\tan \alpha=\frac{h}{d} \]

坡度因子的特性：

通过坡度可以完整地形成地形曲面；

坡度是地形曲面函数一阶微分的函数，表达了高程随距离变化的比率；

区域DEM高程精度与坡度均值之间强相关，通过平均坡度可预测DEM精度；

坡度表现了地表的陡峭方向与大小。

根据坡度的地面分类：

\[\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \begin{array}{l} \text { 地形 } \\ \text { 类别 } \end{array} & \text { 基本等高距（米) } & \text { 地形坡度 (度) } & \text { 高差 (米) } \\ \hline \text { 平地 } & 10(5) & 2^{\circ} \text { 以下 } & <80 \\ \hline \text { 丘陵地 } & 10 & 2^{\circ} \sim 6^{\circ} & 80 \sim 300 \\ \hline \text { 山地 } & 20 & 6^{\circ} \sim 25^{\circ} & 300 \sim 600 \\ \hline \text { 高山地 } & 20 & 25^{\circ} \text { 以上 } & >600 \\ \hline \end{array} \]

DEM采样理论基础

采样理论

在大多数情况下，对具体DEM项目来说，不需要DEM表面所表达出来的全部信息，只需量测表达相应地表所需要的数据点以达到一定的地形表面精度和可信度即可。当采样间隔能使在函数中存在的最高频率中每周期取有两个样本时，则根据采样数据可以完全恢复原函数。

采样方法

1. 基于统计学观点的采样（随机和系统两种）；
2. 基于几何学观点的采样（规则和不规则两种）；
3. 基于地形特征的采样（特征点线-选择采样和随机点线-非选择采样）。

采样策略

1. 沿等高线采样：主要用于山区采样；
2. 规则格网采样：按规则矩形网格进行采样，可直接生成规则矩形格网的DEM数据；
3. 剖面法；
4. 渐进采样：根据地形使采样点合理分布，即平坦地区采样点少，地形复杂区采样点多；
5. 选择性采样：根据地形特征进行采样，如沿山脊线、山谷线等进行采集；
6. 混合采样

注：所有采集的数据都要按一定的空间插值方法转换成点模式格式数据。

不同采样策略的比较：

沿等高线采样                   剖面法                  选择性采样

规则格网采样                  渐进采样                  混合采样

采样间隔

采样间隔：相邻两采样点之间的距离。

1. 采样间隔随距离变化，那么就用平均值来代替；
2. 数据分布是沿等高线或者特征线等线状分布采样点，可采用单位线段上的采样点数来表示；
3. 采样间隔从空间域转换到频率域，则可获得截止频率。

数字高程模型源数据的三大属性

采样点数据的分布

采样数据的分布通常由数据位置和图案来确定。位置可由地理坐标系统中的经纬度或格网坐标系统中的东北向坐标值决定。而图案则有较多的选择。

密度

密度是采样数据的另一属性，可以由几种方式指定，如相邻两点之间的距离（20m）、单元面积内的点数（500点/每平方公里等）、截止频率等。

精度

数据的精度是与数据源、数据采集方法和数据采集的仪器密切相关的。

DEM数据获取方法

数字高程模型的数据来源

数据来源

影像

地形图(地形图特点：现势性、存储介质、精度。)

地面本身

其他数据源

采用的数据源和相应的生产工艺需要考虑因素

1. 源数据的可获得性；

2. DEM的分辨率、精度要求、数据量大小和技术条件等。

摄影测量数据采集方法

摄影测量：利用光学摄影机获取的像片，经过处理以获取被摄物体的形状、大小、位置、特性及其相互关系。

发展类别：模拟摄影测量、解析摄影测量、数字摄影测量。

航空数字摄影

获取现势性强、精度较高的大范围DEM数据。

航天遥感：获取的高程数据精度较低但现势性强，只能做粗略勘探。

遥感影像数据的特点：①遥感影像的几何变形；②遥感数据的增强处理；③遥感数据的空间分辨率；④遥感影像数据的解译和判读。

遥感数据采集方法

利用合成孔径雷达干涉测量采集数据的方法

机载激光扫描数据采集方法

从地形图采集数据的方法

地形图：近年来获取DEM数据最广泛的一种方法之一。优点：

来源丰富，廉价；

对仪器设备和作业人员要求不高；

采集速度相对较快。

涉及问题：①地图符号数字化；②已有的数字化数据不能满足现势性要求；③地形图的综合程度；④地形图的数据质量，尤其指在精度方面。

手扶跟踪数字化

操作方法：将地图平放在数字化仪的台面上，用一个带有十字丝的游标，手扶跟踪等高线，并记录等高线的平面坐标，高程则需由人工按键输入；②两种基本方式：流方式和点方式；③优点：所获取的向量形式的数据在计算机中比较容易处理；④缺点：速度慢、人工劳动强度大，所采集的数据精度也难以保证，特别是遇到线化稠密地区，几乎无法进行作业。不适宜完成大面积DEM数据的采集任务。

扫描数字化和栅格矢量化

利用扫描仪将地形图从模拟状态转换成一组阵列式排列的灰度数据（也就是数字影像）。

栅格矢量化：将灰度数据转换成矢量数据。

扫描仪可分为：平台式或滚筒式；也可以根据探测器的多少分为点阵式、线列式和阵列式。

栅格数据的矢量化分类

手工式矢量化：将栅格数据显示在屏幕上，然后对显示在屏幕上的地物进行量测；

半自动化矢量化：由计算机自动跟踪和识别，当出现错误或计算机无法完成的时候再进行人工干预，目前主要采用方式；

全自动化：一种理想状态，不需要任何人工干预。

从地面直接采集数据的方法

仪器：全球定位系统GPS、全站仪或经纬仪、袖珍计算机；

获取数据：地面控制点和采样点空间位置、高程数据；

优点：直接获取高精度的DEM数据；

缺点：工作量大、效率不高、费用高昂。

数字高程模型各种数据源对比

获取方式	DEM的精度	速度	成本	更新程度	应用范围	缺点
地面测量	非常高(cm)	耗时	很高	很困难	小范围区域，特别的工程项目
摄影测量	比较高(cm-m)	比较快	比较高	周期性	大的工程项目，国家范围的数据收集	成本高，周期长，且受航空管制影响
卫星遥感(立体遥感)	低	很快	低	很容易	国家范围乃至全球范围内的数据收集	受天气影响较大，目前可获得的比例尺较小
GPS比较高(cm-m)	比较高(cm-m)	很快	比较高	容易	小范围，特别的 项目
地形图手扶跟踪数字化	比较低(图上精度0.2-0.4mm)	比较耗时	低	周期性	国家范围内以及军事上的数据采集，中小比例尺地形图的数据获取	受数据源限制很多地区无高或等高线数据
地形图扫描	比较低(图上精度0.1-0.3mm)	非常快	比较低			受数据源限制很多地区无高或等高线数据
干涉雷达、激光扫描	非常高(cm)	很快	非常高	容易	高分辦率、各种范围	目前获取大比例尺DEM较困难，随着我国高分辨率雷达卫星TanDEM-X的发射或许会有所突破。

四种不同比例尺DEM与分辨率

比例尺	分辨率
1:100万DEM	1000m空间分辨率
1:25万DEM	100m空间分辨率
1:5万DEM	25m空间分辨率
1:1万DEM	5m空间分辨率

数字高程模型之数据采集的项目计划

应用时需考虑：DEM分辨率、存储格式、数据精度和可信度因素。

DEM的生产涉及三个基本问题：DEM的精度、生产成本和效率。

DEM的建立

从散点到连续面

地形的空间分布特征：分片模拟、各向异性、自相关性。

数学特征：分片的曲面模型、单值性、连续而不光滑（2.5维）。

DEM质量评价标准：

1. 保凸性（逼近面与实际曲面的波动次数相等或接近，而且两者对应的脊线、谷线位置和走向基本一致保凸性好，反之保凸性差）；
2. 逼真性（逼近面和实际地形曲面对应点之间满足关系式：\(MAX f (x，y)−F(x，y) ≤σ）\)；
3. 光滑性（光滑性和平顺性）。

网络：在地形建模领域通常对经某一特定几何结构构建而成且用于表面建模的实际数据结构。网络更多地涉及数据点在位置意义上的相互关系。

表面建模的基本概念

表面建模的方法（从空间结构的形式看）

1. 基于点的建模方法
2. 基于三角形的建模方法
3. 基于格网的建模方法
4. 将其中任意两种结合起来的混合方法

DEM建立的一般步骤

1. 采用合适的空间模型构造空间结构；
2. 采用合适的属性域函数；
3. 在空间结构中进行采样，构造空间函数（有限性、可计算性）；
4. 利用空间域函数进行分析。

规则格网法：把DEM表示成高程矩阵，DEM来源于直接规则矩形格网采样点或由不规则离散数据点内插产生。计算机对结构简单的矩阵的处理比较方便。

基于三角形的表面建模：多项式的前三项Z = a0 + a1X + a2Y能生成平面。 使用三个点来确定这三项的系数。这三个点可生成平面三角形，从而此三角形决定了一倾斜的表面。

基于格网的建模：多项式Z = a0 + a1X + a2Y + a3XY确定的表面称为双线性表面。考虑实际因素，正方形格网为表面建模的最佳选择。

DEM内插数学模型

内插：DEM的核心问题，它贯穿在DEM的生产、质量控制、精度评定和分析应用等各个环节。

DEM内插：根据若干相邻参考点的高程求出待定点上的高程值。(针对的是建立格网DEM)

内插的中心问题：邻域的确定和选择适当的插值函数。

内插的分类

按内插点的分布范围，可以将内插分为：

• 整体内插

• 分块内插

• 逐点内插

根据二元函数逼近数学面和参考点的关系，内插可以分为：

• 纯二维内插(插值)

  当地形采样点的个数与多项式的系数相等时，这时能得到一个唯一的解，多项式通过所有的地形采样点，属纯二维插值，精确拟合

• 曲面拟合内插(拟合)

  当采样点个数多于多项式系数时，没有唯一解，这时一般采用最小二乘法求解，即要求多项式曲面与地形采样点之间差值的平方和为最小，即残差最小，属曲面拟合插值或趋势面插值）

插值和拟合的区别

左边为插值，右边为拟合。可以发现插值曲线要过所有的数据点，拟合曲线整体效果更好(不一定要经过全部数据点)。

整体内插

整体法：在整个范围内，用所有的已知点来建立一个模型，然后所有的格网点都由这个模型内插而得。

整体内插的特点

优点	缺点
曲面唯一、光滑	假设理想，与实际不符
编程简单	无法反映局部的变化
与坐标系无关	边界效应
低阶多项式计算量较小	高阶多项式系数的物理意义不明显
宏观势态

分块内插

分块内插是把参考空间分成若干分块，对各分块使用不同的函数。这时的问题是要考虑各相邻分块函数间的连续性问题。

典型的局部内插

1. 线性内插
2. 局部多项式内插
3. 双线性多项式内插
4. 样条函数内插等
5. 基于TIN和正方形格网的剖分法双线性内插

线性内插

线性内揷是使用最靠近揷值点的三个已知数据点，确定一个平面，继而求出内揷点的高程值。所求的函数形式为:

\[Z=a_0+a_1 x+a_2 y \]

双线性多项式内插

双线性多项式内插是使用最靠近插值点的四个已知 数据点组成一个四边形，确定一个双线性多项式来内插待插点的高程。设确定的函数形式为：

\[z=a_0+a_1 x+a_2 y+a_3 x y \]

二元样条函数内插

用多项式进行整体内插，阶次越高，出现振荡的可能性越大，这启发人们将区域分块，对每一分块定义出一个不同的多项式曲面。

多面叠加内插法

多面叠加的数学表达式为：

\[z=f(x, y)=\sum_{i=1}^n K_i Q\left(x, y, x_i, y_i\right) \]

其中：

• \(Q\left(x，y，x_i，y_i\right)\)为参加揷值计算的简单数学面，又称多面函数的核函数；
• \(\mathrm{n}\)为简单数学面的张数，或多层叠加面的层数，它的值与分块扩充范围内参考点的个数相等；
• \(K_i(i=1,2,3，\cdots，n)\)为待定参数，它代表了第\(\mathrm{i}\)个核函数对多层叠加面的贡献

最小二乘配置法(拟合)

由Moritz教授提出的最小二乘配置内揷法是一种基于统计的、广泛用于测量学科中的内揷方法。
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。

逐点内插

以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点的范围随待插点位置的变化而移动，因此又称移动曲面法。

逐点内插的步骤

1. 定义内插点的邻域范围；
2. 确定落在邻域内的采样点；
3. 选定内插数学模型；
4. 通过邻域内的采样点和内插计算模型计算内插点的高程。

关键问题

1. 如何确定待插点的最小邻域范围以保证有足够的参考点；
2. 如何确定各参考点的权重。

选择邻近点考虑的因素

1. 范围，即采用多大面积范围内的参考点来计算被插点的数值；
2. 点数，即选择多少参考点参加计算。

动态圆半径法

适用于原始数据点均匀分布的情况

思路: 从数据点的平均密度出发，确定圆内数据点(平均要有10个)，以解求圆的半径R，其公式为:

\[\pi R^2=10 \times(A / N) \]

式中\(N\)为总点数,\(A\)为总面积。这种方法实际上综合考虑了点数和范围两个因素。

按方位点取法

当原始数据不均匀时，以格网点为中心把平面平均分成n个扇面，从每个扇面内取一点作加权平均，克服了数据点偏向的缺点。

加权平均法

对应ArcGIS中的IDW(反距离加权平均法)

观测点的相互位置越接近，其相似性越强；距离越远，则相似性越小。(地学第一定律)因此，不同的采样点因为相对于待揷点的距离不同，对待揷点的高程揷值影响程度是不同的。所以，在移动拟合时，我们一般采用与距离相关的权函数，常用的权函数有:

\[\begin{aligned} &p=1 / r^2 \\ &p=(R-r)^2 / r^2 \end{aligned} \]

式中\(p\)是参考点的权，\(R\)是圆的半径，\(r\)是待揷点到参考点的距离。

加权平均法是移动拟合法的特例，它是在解算待定点\(\mathrm{p}\)的高程时，使用加权平均值代替误差方程:

\[Z_p=\sum_{i=1}^n p_i Z_i / \sum_{i=1}^n p_i \]

式中，\(Z_p\)是待定点的高程，\(Z_i\)是第\(i\)个参考点的高程值，为参考点的个数，是第\(i\)个参考点的权重，权函数及参考点范围的选取与移动拟合法相同。

VORONOI图法

事实上距离难以很好地描述空间相邻性。显然，对于离散的数据点之间的空间相邻性的描述，需要给出一种较好的数学表达，Voronoi图就是一种很好的工具。

(a)原始的Voronoi多边形和Delaunay三角形(虚线)； (b)揷入一个点X的结果； (c)重新构建Voronoi多边形

**一维线性的VORONOI图内插**

(a)原始数据； (b)Voronoi 区域； (c)揷入采样点； (d)线性内揷结果； (e)叠加调和函数； (f)包含坡度因素的调和函数

考虑地貌特征的逐点内插

不考虑地貌特征的逐点内插，可把拟合曲面看成是一小块连续光滑的地面。但拟合面是随机划定的，很可能有地性线贯穿其间。

可在内插前先判断移面中是否有地性线穿过。对含地性线的移面，应按地性线将拟合面再行分割， 直到不含地性线为止。分割后的曲面如果参考点个数不够，可扩展选点的范围。

逐点内插方法的总结

与分块内插法相比，逐点内插法十分灵活，计算方法简单又不需很大的计算机内存，因而应用更为广泛。

三种插值方法的比较

一般说来，大范围内的地形很复杂，用整体内插法参考点个数较少时，不足以描述整个地形。较多的参考点则多项式易出现振荡现象，很难获得稳定解。因此在DEM内插中通常不采用整体内插法。

分块内插能够较好地保留地物细节，并通过块间重叠保持了内插面的连续性，是应用中较常选用的策略。其中双线性内插法由于简单直观，常常用于实际工程。但一个主要问题是分块的大小的确定。就目前技术而言，还没有一种运用智能法或自适应法进行地貌形态识别后自动确定分块大小、进行高程内插的算法。

剖分内插属于分块内插的一种。大部分分块内插都涉及解求复杂的方程组，应用起来较为不便。实际应用中人们常常通过建立剖分三角网直接进行内插， 也就是用TIN完全覆盖平面。由于TIN可以适应各种数据分布，并能方便地处理断裂线﹑构造线不连续的地表等数据，所以TIN被认为是一种快速准确的随机栅格转换方式。

graph LR; 散点-->剖分三角网(TIN) 剖分三角网(TIN) --> 对每个三角形进行分块内插

逐点内插应用简便，但计算量较大。其关键问题在于内插窗口域的确定。这不仅影响到内插的精度，还关系到内插速度。

基于Voronoi图的逐点内插算法，被认为是目前较好的一类逐点内插法。

规则格网DEM的建立

基于点的DEM建模

如果只使用多项式的零次项来建立DEM表面，则对每一数据点都可建立一水平平面，假如使用单个数据点建立的平面表示此点周围的一小块区域（在地理分析领域也称这一点的影响区域），则整个DEM表面可由一系列相邻的不连续表面构成。 对每一个单独平面的子面域，其数学表达式可简单表示为 :

\[Z~i~ = H~i~ \]

从细格网到粗格网

通过重采样，从细格网数据中获得粗格网的数据。最简单的取舍方法是从细格网数据中选取一些点，以形成所需的粗格网。

内插新格网点的方法：

• 最近点法
• 双线性法
• 局部曲面法

从不规则离散点生成格网

从离散点到格网点有两种方法，一种是直接用离散点来内插格网点；另一种是经由三角网来内插格网点。

直接用离散点来内插格网点

graph LR; 直接法 --> 逐点法; 直接法 --> 局部法; 直接法 --> 全局法;

经由三角网来内插格网点

从等高线生成格网

由等高线生成格网DEM的方法：

• 等高线离散化法
• 等高线内插法
• 等高线构建TIN法

等高线内插法

计算每条直线与最近等高线的交点，计算每条直线上两交点之间的距离和高差求出交点之间的坡度，在四条直线中选出坡度最大的直线，在最大坡度线上按线性内插方法求取内插点的高程。

基于TIN的规则格网DEM建立

1. 根据采样点，建立研究区域的TIN；
2. 在TIN上进行格网点的高程内插。主要采用线性内插、精确拟合内插、磨光内插等。

TIN的建立

TIN：由空间中离散分布的不均匀点组成的三角网络模型。

TIN模型的基本要点

1. TIN是唯一的；
2. 力求最佳的三角形几何形状，每个三角形尽量接近等边形状；
3. 保证最邻近的点构成三角形。

从离散点生成不规则三角网

TIN的三角剖分准则

外接圆准则：在TIN中，过每个三角形的外接圆均不包含点集的其余任何点；

最大最小角准则：在相邻三角形形成的凸四边形中，着两个三角形中的最小内角一定大于交换凸四边形对角线后所形成的两个三角形的最小内角；

最短距离和准则：最短距离就是指一点到基边两端的距离和为最小；

张角最大准则：一点到基边的张角为最大；

面积比准则：三角形内切圆面积与三角形面积与周长平方之比最小；

对角线准则：两个人三角形组成的凸四边形的两条对角线之比，超过给定限定值时对三角形进行优化。

Delaunay三角剖分：通常将在空外接圆准则、最大最小角准则下进行三角剖分，简称DT。

角度判断法建立TIN

当已知三角形的两个顶点后，利用余弦定理计算备选第三顶点的三角形内角的大小，选择最大者对应的点为该三角形的第三顶点。将原始数据分块，检索所处理三角形邻近点。

空圆法则

Delaunay三角网：相互邻接且互不重叠的三角形的集合，每一三角形的外接圆内不包含其它的点。

Voronoi多边形：把平面分成N各区，每一个区包括一个点，该点所在的区是距离该点最近的点的集合。

DELAUNAY = VORONOI的对偶。

（a）在三角形内；（b）在三角形外接圆内；（c）在三角形外接圆上（按最小边长标准判断对角线13更为可取）； （d）在外接圆外 ##### 局部最优方法(LOP)

LOP法则：运用DT三角网的空外接圆性质对由两个有公共便的三角形组成的四边形进行判断。

交换凸四边形的对角线，可获得等角性最好的三角网。

（a）新点p插入   （b）对角线交换      （c）三角网

从规则数据生成三角网

直接法

VIPs法

算法的关键

筛选要保留或丢弃的格网点；

判断停止筛选的条件。

常见的VIPs选择方法

1. 地形骨架法
2. 地形滤波法
3. 层次三角网法
4. 试探法
5. 迭代贪婪插入法

混合数据：链状数据（即断裂线、结构线与河流线等）与根据规则格网采样或渐进采样获取的格网数据结合后形成的一种数据。

静态三角网：在整个建网过程中，己建好的三角网不会因新增点参与构网而发生改变。

动态三角网：在构网时，当一个点被选中构网时，原有的三角网被重构以满足Delaunay三角网的外接圆规则。

递归生长法：

凸闭包收缩法：

带约束条件的DELAUNAY三角网

约束域：当不相交的地形特征线、特殊的范围边界线等被作为预先定义的限制条件作用于TIN的生成当中时生成带约束的三角网。

约束条件有两类：边界约束、内部约束条件。

加密法：通过加密约束线段上的数据点，将约束数据转换为普通数据，从而按标准Delaunay三角形剖分。

带约束条件的Delaunay法则

只有当三角形外接圆内不包含任何其它点， 且其三个顶点相互通视时，此三角形才是一个带约束条件的Delaunay三角形。

约束条件的Delaunay Lawson LOP交换

只有在带约束条件的Delaunay法则满足的条件下，由两相邻三角形组成的凸四边形的局部最佳对角线才被选取。

等高线生成不规则三角网

等高线离散点直接生成TIN方法（易生成平三角形）；

将等高线作为特征线的方法（至多只能从同一等高线取两个点）；

自动增加特征点及优化TIN的方法（仍将等高线离散化建立TIN，但采用增加特征点的方式来消除TIN中的“平三角形”，并使用优化TIN的方式来消除不合理的三角形比如三角形与等高线相交等）。

栅格生成不规则三角网

数学形态法，建立泰森多边形，生成三角网。

从规则格网DEM及TIN内插等高线

根据DEM的数据结构，搜索与跟踪等高线的方法：基于规则格网的矢量法、栅格法、基于三角网的矢量法。

规则格网DEM矢量法内插等高线

从格网DEM导出等高线主要步骤：

1. 从DEM跟踪等高线点，
2. 进一步插补加密等高线点以形成光滑的曲线（即等高线的拟合或光滑）。

从格网DEM内插等高线的基本问题有：

1. 计算各条等高线和网格边交点的坐标值；
2. 找出一条等高线的起始点并确定判断和识别条件，以跟踪一条等高线的全部等高点。

等高线取向的二义性与光滑

等高线取向的二义性指的是在一个格网单元的四边都有同一高程的等高点，这样导致走向的不确定性。通常的解决方法是增加一个中心点，它的高程取四个格网点的均值参加内插，外加一个优先条件（如右边是高地）

等高线取向的二义性

其实，用多项式在局部加密也是一种有效的方法。这样产生的等高线也较光滑。下图表示加密后光滑性的改善情况。

加密后光滑性的改善情况

规则格网DEM栅格法内插等高线

栅格法绘制等高线有两种方式

1. 称为二值等高线法，即等高线表示为不同色调的高程等级间的边界（无宽度）；
2. 称为边界等高线法，用与格网单元尺寸相等的线宽显示等高线，该方法涉及到边界查找算法。

三色等高线法

高亮边界等高线法

边界等高线法的基础上，用边界查找算法找出等高线后， 指定其灰度值为127（灰色）。每隔四条灰色等高线，使灰度值为0（黑色），绘一条黑色等高线，从而使计曲线高亮显示。

高程灰阶等高线法

明暗等高线法

TIN矢量法跟踪等高线

基于三角网（TIN）跟踪等高线由于直接利用了原始观测数据，不仅避免了由于DEM内插造成的精度损失，而且能更逼真地表达地形特征。

不同DEM模型之间的转换方法

DEM的可视化与多尺度表达

地形的分类

真实地形：现实世界中真实地形的再现，一般基于DEM实现。

模拟地形：通过随机生成地形高程数据或采用分形法生成地形。

地形二维可视化表达

等高线法

高程相等的相邻点的连线。地形表达最为常用的形式，能较为科学的反映地面高程、山体、坡度、坡形、山脉走向等基本的地貌形态及其变化。

提取等高线的基本步骤：

1. 内插等高点；

2. 追踪等高线；

3. 主机等高线；

4. 光滑等高线并输出。

明暗等高线法

获得明暗等高线

1. 根据斜坡所对的光线方向确定等高线的明暗程度

2. 将受光部分的等高线饰为白色，背光部分的等高线饰为黑色

3. 地图的底色饰为灰色

制作明暗等高线地图

1. 生成研究区域的DEM

2. 从DEM中按给定等高距提取等高线将生成的矢量图栅格化

3. 从DEM上提取坡向，获得研究区域的坡向图

4. 根据入射光方向将坡向图划分为背光面和受光面两个部分

分层设色法法

基于高程的分带设色

1. 连续性、立体感、考虑颜色使用习惯
2. 高程越高颜色越暗与高程越高颜色越亮越饱和鲜明
3. 基于高程数据的灰度影像

地形晕渲法法

通过模拟太阳光对地面照射所产生的明暗程度，并用灰度色调或彩色输出，得到随光度近似连续变化的色调，达到地形的明暗对比与地形地貌的立体感。其基本原理是：

1. 确定光源方向；
2. 计算DEM单元的坡度坡向；
3. 将坡向与光源方向比较，面向光源的斜坡得到浅色调灰度值，背光的斜坡得到神灰度值，两者之间的灰度值进一步按坡度确定。

地形三维可视化表达

三维可视化的步骤

1. DEM的三角形分割（TIN不需此步）
2. 透视投影变换（建立DEM结点与三维图象点之间的透视关系，由视点、视角、三维图形大小等参数确定）
3. 光照模型（建立一种能逼真反映地形表面明暗、彩色变化的数学模型，逐个计算每像素的灰度和颜色）
4. 消隐和剪裁（消去三维图形不可见部分，裁剪掉三维图形范围之外的部分）
5. 图形绘制和存储（依据各种相应的算法绘制并显示各种类型的三维地形图，若需要则按标准的图形图像文件存储）
6. 地物叠加（在三维地形图上，叠加各种地物符号、注记，并进行颜色、亮度、对比度等处理）

地形三维景观模型

纹理映射

把二维的纹理图像映射到三维物体表面，关键是建立物体空间坐标与纹理空间坐标之间的对应关系。

纹理资源

专业摄影图片、实地摄影、航天航空遥感图像、地形图或专题图扫描数字影像、矢量数据与地貌纹理图像的复合、分形产生的纹理。

纹理匹配要注意的问题

纹理图像的大小与三维图像的大小适应、纹理图像的视角视距与三维图像一致、纹理图像选择亮度均匀的区域而避免阴影和强光、一幅纹理图像中按一定格式构成多种纹理。

DEM的多尺度表达

多尺度的概念与理论

地理空间中的尺度和分辨率

对海岸线量测的基本测量单位的大小称为分辨率 。通常情况下，地理空间中的分辨率是尺度的一个指示器 ， “抽象程度”和“细节层次”是对偶的关系 。 分辨率<>尺度

分辨率是指细节层次，而尺度不仅有 “抽象层次” 的含义，同时 也有“感兴趣的相对大小” 的含义。

多尺度表达的自然法则

在一定的尺度中，如果基于空间变换的地理目标的大小低于了最小规定尺寸，那么它就会被忽略而将不再被表达。

大多数情况空间物体的分辨率会随着尺度的变化而变化，如果距离物体比较近，即尺度较大，那么将会看到更多的物体细节，相反，如果距离物体比较远，即尺度较小，那么只能看到物体的主要特征，这也就是分辨率随着物体的尺度而变化的规律。

多尺度数字高程模型的表达方法：层次结构

概念：LOD模型是指对同一个区域或区域中的局部，使用具有不同细节的描述方法得到的一组模型。

目的：在大范围DEM的实时可视化过程中，为了控制场景的复杂性、加快图形描绘速度，广泛使用细节层次模型。

LOD多细节水平模型

概念

LOD技术根据同一个物体，把它放到远近不同的位置，人的眼睛所能看到的该物体细节的详细程度是不一样的特点，指对同一个场景中的物体采用具有不同细节水平的一系列模型。类似于栅格影像数据处理中的多分辨率概念，即影像金字塔。要建立三维矢量数据的LOD模型，通常要么预先生成，要么实时简化。

方法分为

1. 离散LOD，离散生成多个离散的不同细节层次的模型， 根据一定的判别条件进行选用，相邻LOD间切换具有视觉上的跳跃
2. 连续LOD，实时生成不同分辨率的模型，同一模型各处具有相同的细节层次水平，可以实现LOD间的平滑过渡
3. 多分辨率模型，不同细节层次同时存在于模型的不同部分。

金字塔结构

对可视化而言基于规则格网模型的LOD生成方法：直接采用网格减少的方法来简化场景（不考虑地形特征）

缺陷：简单金字塔结构的不足之处是不管地形复杂与简单，同一层的格网的间距都是一样的。

四叉树结构

大格网来表达简单的地形，而用小格网来表达复杂的地形，以达到保持复杂地形起伏的高逼真度表达。

多尺度数字高程模型的表达方法：表面综合

基于自然法则的DEM综合方法

三角网式数字高程模型的表面综合

基于几何网络和拓扑特征的三角网简化

1. 顶点删除操作：删除三角形网络中的一个顶点，然后对其相邻的三角形形成的空洞进行三角剖分
2. 边压缩操作：把三角形网络中的一条边压缩为一个点，与该边相邻的两个三角形退化，而其两个顶点融合为一个顶点
3. 三角形收缩边操作：把三角形网络中的一个三角形组成面收缩为一个顶点，该三角形本身与其相邻的三角形都退化。

数字地形分析

地形分析简介

地形数据的应用

• 直接应用，将DEM本身作为测图自动化的重要组成部分和地理信息数据库的基础；

• 将DEM经过某种变换产生满足各专业应用需求的各种派生产品，这是面向用户的间接应用。

长期以来，人们已习惯于用等高线、坡度 与坡向、剖面、汇水面积、填挖方和三维透视等派生图形或数据来表达实际地形的各种特征。产生这些派生产品的过程被称为地形分析。

地形分析的含义

地形分析包括两方面的含义

• 地形数据的基本量算：如何确定点的高程、两点间的距离和方位、面积、表面积和体积等。

• 数据的地形特征分析：地形特征识别、地理现象相关关系分析等。

地形分析的分类

从地形分析的复杂性角度，可以将地形分析分为两大部分

• 一部分是基本地形因子（包括坡度、坡向、粗糙度等）的计算，也称地形数据的基本量算。
• 另一部分是复杂的地形分析包括可视性分析、 地形特征提取、水系特征分析、道路分析等。即数据的地形特征分析，这些地形分析的内容与地形模型是紧密相关的。

数字地形分析(DTA)：在数字高程模型上进行地形属性计算和特征提取的数字信息处理技术。

基本地形因子计算

地形因子：为定量表达地貌形态特征而设定的具有一定意义的数学参数或指标。

微观坡面因子：反映了该地貌微观地表单元的形态、起伏或扭曲特征坡度、坡向、坡长、坡度变率等；

宏观坡面因子：反映宏观地形特征，地形粗糙度、地形起伏、高程变异系数、地表切割深度等。

坡面因子分类

(1)基于提取算法的坡面因子分类体系

(2)基于因子信息特征的坡面因子分类体系

窗口分析

在DEM数据中提取坡面信息的主要分析方法。其基本原理是对栅格数据系统中的数据，开辟一个固有分析半径的分析窗口，并在该窗口内进行诸如极值、均值、标准差等一系列计算，实现栅格数据有效的水平方向扩展分析。

矩形窗口：以目标栅格为中心，分别向周围八个方向扩展一层或多层栅格。

圆形窗口：以目标栅格为中心，向周围作一等距离搜索区，构成一圆形分析窗口。

环形窗口：以目标栅格为中心，按指定的内外半径构成环形分析窗口。

扇形窗口：以目标栅格为中心，按指定的起始和终止角度构成扇形分析窗口。

坡度坡向的计算

坡度：坡面倾斜的量度，坡度大小直接影响着地表物质流动与能量转换的规模与强，是制约生产力空间布局的重要因子。

坡向：地表面上一点的切平面的法线矢量在水平面的投影与过该点的正北方向的夹角，坡向表征了点高程值该变量的最大变化方向。决定地表面局部地面接收阳光和重新分配太阳辐射量的重要地形因子之一。

任一斜面的坡度等于它在该斜面上两个互相垂直方向上的坡度分量的矢量和，也即DEM意义上的坡度和坡向的矢量和

坡度计算方法分类

计算方法

坡度和坡向的计算通常使用3*3的窗口，将其在DEM高程矩阵中连续移动，从而完成整幅图的计算。
拟合曲面法一般采用二次曲面，即3×3的窗口。每个窗口中心为一个高程点。

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline e5 & e2 & e6 \\ \hline e1 & e & e3 \\ \hline e8 & e4 & e7 \\ \hline \end{array} \]

点e的坡度/坡向的解求公式如下：

坡度的计算公式:

\[\text { Slope }=\tan \sqrt{\text { Slope }_{w e}^2+\text { Slope }_{s n}^2} \]

坡向的计算公式：

\[\text { Aspect }=\text { Slope }_{s n} / \text { Slope }_{w e} \]

\(Slope\)——坡度
\(Aspect\)——坡向
\({ Slope }_{w e}\)——\(X\)方向上的坡度
\({ Slope }_{w e}\)——\(Y\)方向上的坡度

坡度百分比

高程增量与水平增量之比的百分数：

坡度变化率/坡向变化率

假设 “0”号格网点的坡度为 \(a_0\),“j”号格网点的坡度为 \(a_j，\mathrm{j}=1,2，\ldots，7,8\) 。

\[\begin{array}{|l|l|l|} \hline 7 & 6 & 5 \\ \hline 8 & 0 & 4 \\ \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array} \]

记:

\[S_j= \begin{cases}\frac{a_j-a_0}{D}, & \text { 当 } j=2,4,6,8 \\ \frac{a_j-a_0}{\sqrt{2} D}, & \text { 当 } j=1,3,5,7\end{cases} \]

式中\(D\)为格网的边长。

于是，可定义 “0”号数据点的坡度变化率\(S_0\)为:

\[S_0=S G N_{S_{\max }}\left|S_{\max }\right| \]

式中，\(\left|S_{\text {max }}\right|=\operatorname{MAX}\left(\left|S_1\right|,\left|S_2\right|,\left|S_3\right|,\left|S_4\right|,\left|S_5\right|,\left|S_6\right|,\left|S_7\right|,\left|S_8\right|\right.\)

\(S G N_{S_{\max }}\) 表示 \(S_0\) 的方向与 \(S_{\max }\) 相同

这也就是说，在格网内部，任一格网点的坡度变化率应取该格网点相邻八个格网点坡度变化率中绝对值最大的一个，并与它有相同的符号。

曲率

地形表面曲率是地形曲面在各个截面方向上的形状、凸凹变化的反映，是平面点位的函数。可反映地形结构和形态，同时也影响着土壤有机物含量的分布，在地表过程模拟、水文、土壤等领域有着重要的应用价值和意义。

地面曲率：对地形表面一点扭曲变化程度的定量化度量因子，地面曲率在垂直和水平两个方向上分量分别称为平面曲率和剖面曲率。

剖面曲率：对地面坡度的沿最大坡降方向地面高程变化率的度量。

平面曲率：在地形表面上任意一点P，用过该点的水平面沿水平方向切地形表面所得的曲线在该点的曲率值。

坡长

坡长：在地面上一点沿水流方向到其流域向起点间的最大地面距离在水平面上的投影长度。

坡长是水土保持、土壤侵蚀等研究中的重要因子之一，当其他外在条件相同时，物质沉积量、水力侵蚀量和冲刷的强度依据坡面的长度来决定。坡面越长，会聚的流量越大、侵蚀力和冲刷力就越强。

坡长也直接影响地面径流的速度，进而影响对地面土壤的侵蚀力。目前许对水土流失方程和土壤侵蚀方程等都将坡长作为其中的一个因子

坡形

指局部地表坡面的曲折形态，一般可分为直线形斜坡、凸形斜坡、凹形斜坡和台阶形斜坡四种基本类型。一般可采用地面曲率因子和地面变率因子度量地面表面一点的弯曲变化程度。

直线形斜坡：从分水岭到斜坡底部地面坡度基本上不变。

凸形斜坡：地面坡度随着距分水岭距离增加而增加。邻近分水岭附近的地面平缓，以后随坡长的增加，坡度亦增加。

凹形斜坡：斜坡上半部坡度较陡，下半部坡度较缓。此种坡形常以沉积为主，较多分布在山区与阶地平原接壤处或河谷的两岸。

台阶形斜坡：是斜坡与阶地相间的形式，可以看作是凸型坡与凹形坡的组合。

面积和体积

表面积计算

如果是格网DEM，则将格网DEM的每个格网分解为三角形，计算三角形的表面积使用海伦公式:

\[\begin{aligned} &S=\sqrt{P\left(P-D_1\right)\left(P-D_2\right)\left(P-D_3\right)} \\ &P=\frac{1}{2}\left(D_1+D_s+D_3\right) \\ &D_i=\sqrt{\Delta X^2+\Delta Y^2+\Delta Z^2}(1 \leq i \leq 3) \end{aligned} \]

式中，Di表示点\(i(1 \leqslant i \leqslant 3)\)对三角形两顶点之间的表面距离，\(\mathrm{S}\)表示三角形的表面积，P表示三角形周长的一半。整个DEM的表面积则是每个三角形表面积的累加。

投影面积计算

投影面积指的是任意多边形在水平面上的面积。当然可以直接采用海伦公式进行计算，只要将(8.1.7)式中的距离改为平面上两点的距离即可。而更简单的方法是根据梯形法则，如果一个多边形由顺序排列的N个点\((X i，Y i，i=1，N)\)组成并且第\(N\)点与第1相同，则水平投影 面积计算公式为:

\[S=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N-1}\left(X_i \times Y_{i+1}-X_{i+1} \times Y_i\right) \]

如果多边形顶点按顺时针方向排列，则计算的面积值为负；反之，为正。

体积的计算

DEM体积可由四棱柱和三棱柱的体积进行累加得到。四棱柱上表面可用抛物双曲面拟合，三棱柱上表面可用斜平面拟合，下表面均为水平面或参考平面，计算公式分别为:

\[\begin{aligned} &V_3=\frac{Z_1+Z_2+Z_3}{3} \cdot S_3 \\ &V_4=\frac{Z_1+Z_2+Z_3+Z_4}{4} \cdot S_4 \end{aligned} \]

其中\(\mathrm{S}_3\)与\(\mathrm{S}_4\)分别是三棱柱与四棱柱的底面积。

剖面积的计算

剖面积的计算: 根据工程设计的线路，可计算其与各格网边交点 \(P i\) (\(Xi，Y i，Z i\))，则线路剖面积为:

\[s=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{Z_i+Z_{i+1}}{2} \cdot D_{i, i+1} \]

其中\(\mathrm{n}\)为交点数；\(D_{i，i+1}\) 为\(\mathrm{P}_{\mathrm{i}}\)与\(\mathrm{P}_{\mathrm{i}+1}\)之距离:

\[D_{i, i+1}=\sqrt{\left(x_{i+1}-x_i\right)^2+\left(y_{i+1}-y_i\right)^2} \]

同理可计算任意横断面及其面积。

格点面元的参数计算

\[\Delta h=M A X\left(h_{00}, h_{01}, h_{20}, h_{11}\right)-\operatorname{MIN}\left(h_{00}, h_{01}, h_{20}, h_{11}\right) \ \]

凹凸系数：

\[C D=\left(\frac{h_{\max }+h_{\mathrm{max}}^{\prime}}{2}\right) / \bar{h} \]

坡位：指坡面所处的地貌部位。

坡面复杂度因子

地形起伏度：在指定区域内最大高程与最小高程的差，够直观地反映地形起伏特征。

\[RF_i=H_{\text {max}}-H_{\min } \]

地表粗糙度：反映地表的起伏变化和侵蚀度的指标，一般定义为地表单元的曲面面积与其在水平面上的投影面积的比值。

\[CZ=S_{\text {表面积}}-S_{\text {投影面积}} \]

地表切割深度：指地面某点的领域范围的平均高程与该邻域范围内的最小高程的差值。

\[D_i=H_{\text {mean }}-H_{\min } \]

高程变异系数：反映分析区域内地表单元格网各顶点高程变化的指标，以格网单元顶点的标准差与平均高程的比值来表示。

\[EV = std/mean \]

地形特征提取

地形特征提取内容与方法

地形特征是指对于描述地形形态有着特别意义的地形表面上点、线、面，它们构成了地形变化起伏的骨架。

DEM特征提取的重要两部分：

• 地形特征的提取
• 水系特征的提取

地形特征点的提取

地形特征点	特点
山顶点	在局部区域内海拔高程的极大点，表现在各方向上都凸起。
凹陷点	在局部区域内海拔高程的极小值点，表现为在各个方向上都为凹陷。
脊点	是指在两个相互正交的方向上，一个方向凸起，而另一个方向没有凹凸性变化的点。
谷点	两个相互正交的方向上，一个方向凹陷，而另一个方向没有凹凸性变化的点。
鞍点	两个相互正交的方向上，一个方向凸起，而另一个方向凹陷的点。
平地点	是指在局部区域内各方向上都没有凹凸变化的点。

地形特征提取算法的原理分类

大多数有关地形特征提取的算法是基于规则格网DEM的，算法的原理大致可归纳为以下四种：

• 基于图像处理的特征提取；
• 基于地形曲面几何分析的原理；
• 基于地形曲面流水物理模拟分析的原理；
• 基于地形曲面几何分析和流水物理模拟分析相结合的原理。

水系特征的提取方法与地形特征提取的方法基本相同。对于确定汇水流域的范围，可以通过对区域流水量进行跟踪以及分析地形的凸凹变化等方法实现

基于规则格网数字高程模型的特征提取

基于图像处理技术的特征提取

基于图像处理的格网DEM特征提取的思路主要源于图像处理的特征提取。因为规则格网DEM可以看作是栅格的，所以总是可以使用栅格的方式来进行处理。图像处理的特征提取方法大都是采用各种滤波算子进行边缘提取。

缺陷：

1. 难以去除DEM中的噪声
2. 连线时算法复杂；

基于地形表面几何形态分析的的特征提取(断面极值法)

该方法的基本思想是地形断面上高程变化的极大值点是分水点，地形断面上高程变化的极小值点是合水点。该方法找出DEM的纵向与横向的两个断面上的极大值点、极小值点，作为地形特征线上的备选点；根据一定的条件或准则将这些备选点规划入各自的特征地形线。

缺陷：

1. 点的判定与线的判定是分开的忽略了曲率变化现象；
2. 确定的地形线有一定的近似性与实际有差异；

基于地形表面流水物理模拟分析的特征提取

其基本思想是，依照流水从高至低的自然规律，顺序计算每一地形点的汇水量，然后按汇水量的变化找出区域中的每一条合水线，即合水线上点依高程从高至低的顺序其汇水量单调增加。根据已得到的合水线通过计算找出各自的汇水区域的边界线，即为分水线。

graph LR; 每一地形点的汇水量-->区域中的每一条合水线 区域中的每一条合水线-->各自的汇水区域的边界线

缺陷：

1. 有低处非地形特征线上的点的汇水量也较大被误认为地形特征线上的点
2. 确定的分水线均为闭合曲线

基于地形曲面几何分析和流水物理模拟分析相结合的方法

先流水物理模拟分析提取大概地形特征线，然后几何分析提取精确特征线

graph LR; 概略DEM的建立-->地形流水物理模拟 地形流水物理模拟-->概略地形特征线提取 概略地形特征线提取-->地形几何分析 地形几何分析-->地形特征线精确确定

基于等高线的特征提取

等高线曲率判别法

步骤

1. 首先计算出每条等高线上一 定间距的离散点的曲率绝对值
2. 然后将曲率绝对值大于一给定阈值的点选择出来，这些点被视为地形特征线上点的备选点

缺陷

1. 有着同断面极值法一样的缺陷
2. 在地形破碎地区或等高线不光滑 （存在噪音）区域，使得地形特征线的跟踪十分困难

等高线垂线跟踪法

原理

等高线垂线跟踪法用于从数字化等高线数据中提取地形特征线，该方法以一定的步长在每条等高线上选取样点，并计算每个样点处的等高线的法线方向单位矢量。将该矢量分解为X坐标轴和Y坐标轴上的分量，然后通过内插得到所需点（非等高线上的点）处的等高线法线方向矢量。由已得到的各点处等高线的法线方向矢量 按其高程从高至低的顺序进行等高线法线方向矢量跟踪， 跟踪所得的各个等高线垂线轨迹线的交汇点所组成的线为地形特征线。

特点

该方法是以整体分析为基础，它比起局部分析法 （如等高线曲率判断法）有着抗干扰（噪音）能力 强的优点。但它只是间接分析与寻找地形特征线， 因此有着计算量大和地形特征线上的点的确定比较麻烦的缺点

等高线骨架化法

原理

骨架化法是将同一条等高线的中心轴线视为地形特征线。因此，该方法实质上是将地形特征线两侧的地形视为对称变化。

缺陷

1. 这原理与大多数地形变化不相符合，用该方法所提取的地形特征线有很大程度的近似性
2. 当对同 一地形特征线上相邻近的两条等高线用该方法进行处理时，所提取的地形特征线不一致
3. 当等高线不光滑或存在噪音时，其所得结果更令人失望

基于Voronoi图的骨架法

原理

如果使用原始的等高线数据生成不规则三角网 （TIN）,则显然它对应的Voronoi多边形的各个顶点将构 成地形的骨架点。由这些骨架点构成的内容有三部分：

1. 主要的部分是骨架线或中心轴线，中心轴线上的点的高程值是两等高线高程的平均值
2. 一部分则是地形特征线，地形特征线上的高程值则可通过内插方式求得
3. 另一部分是很小的毛刺,毛刺的形成主要是由于等高线的不光滑、许多小的弯曲造成的

特点

优点是当建立起 TIN/Voronoi图时，骨架线和地形特征线可立即得到。骨架线可用于等高线的简化、综合等方面，但必须对骨架线做处理，以消除其上的小毛刺。另外，地形特征线也需找合理的方法进行连接。

由Voronoi多边形的顶点构成的骨架 (引自Thibault and Gold, 1999). (图中，黑色的线为等高线，长的虚线为中心轴线，短的虚线为地形特征线)

水文分析

水文分析：从DEM生成集水流域和水流网络数据。

其主要内容有：

1. 集水流域（流域自动划分）；
2. 水流网络提取、沟谷段识别；
3. 排水系统的分析。

水文分析的内容

基础知识

集水流域：水流及其它物质流向出口的过程中所流经的地区，一个封闭的区域。

集水出口：水流离开集水流域的点，这一点是集水流域边界的上最低点。

子流域：较大的集水流域结构中的一部分。是地表径流汇聚到某一条支流或某一段河流的地表区域，它的出水口是支流与下流或者支流与支流的汇聚点。

分水岭：两集水流域的相邻边界，也即山脊线。

(a)集水区域                                (b)水流网络

水流网络：水流到达积水口所流经的网络结构，可视为一树状结构，根节点即为集水出口，两支水流的焦点称为水流网络节点。

流域描述参数

流域整体参数

1. 流域面积
2. 流域长度
3. 流域坡度
4. 流域形状
5. 流域平均高度
6. 流域方向

流域局部参数

1. 沟谷长度
2. 沟谷坡度
3. 河网密度
4. 沟谷级别关系

水文基本因子计算

水文分析的整体流程

graph LR; 无洼地DEM的生成--> 水流方向矩阵的计算 水流方向矩阵的计算--> 水流累计矩阵的计算 水流累计矩阵的计算--> 流域网络提取 流域网络提取-->流域分割和流域地形参数统计计算

无洼地DEM的生成

地形洼地是区域地形的集水区域，水流方向矩阵中满足下列条件的格网点作为洼地：

1. 格网点的水流方向值为负值；

2. 八邻域格网点对水流方向互相指向对方。

单点洼地——单格网洼地填平的方法

DEM中的某一点的八个邻域点的高程都大于该点的高程，并且该点的八个邻域点至少有一个点是该洼地的边缘点，对于这样的单格网洼地可直接赋以其邻域格网中的最小高程值或邻域格网高程的平均值。

独立洼地区域——独立洼地区域的填平方法

独立洼地区域是指洼地区域中只有一个谷点，并且该点的八个邻域点中没有一个是该洼地的边缘点。对于独立洼地区域填平可采用：

首先以谷底点为起点，按流水的反方向采用区域增长算法，找出独立洼地区域的边界线，即水流流向该谷底点的区域边界线。在该独立洼地区域边缘上找出其高程值最小的点，即该独立洼地区域的集水流出点，将独立洼地区域内的高程值低于该点高程值的所有点的高程用该点的高程代替。

复合洼地区域——复合洼地的区域的填平方法

复合洼地区域是指洼地区域中有多个谷底点，并且各个谷底点所构成的洼地区域相互邻接。复合洼地是地形洼地区域的主要表现形式。对于复合洼地的填平可：

首先以复合洼地区域的各个谷底点为起点，按水流的反方向应用区域增长算法，找出各个谷底点所在的洼地的边缘和它们之间的相互联系以及各个谷底点所在洼地的集水出水口的位置。找出高程值最小的出水口，替代小于该高程值的洼地。

在决定水流方向以前，必须先将洼地填充，通过平滑处理来消除洼地，但平滑方法只能处理较浅的洼地，更深的洼地仍然得以保留。处理洼地的另一种方法法是通过将洼地中的每一格网赋以洼地边缘的最小高程值，从而达到消除洼地的目的。

水流方向矩阵的计算

水流方向：水流离开此格网时的指向。

在格网DEM上利用路径算法进行汇水面积 （累计流量）计算主要解决两个问题：

1. 确定当前栅格单元的流向
2. 决定当前栅格单元向较低单元的流量分配比例

单流向路径算法

单元之间水的流动应全部流入最大坡度下降方向的单元

多流向路径算

上游单元物质应流入比其低的所有或部分下游单元，流入下游单元的流量按某种比例分配

具体步骤

1. 对所有数据边缘的格网，赋以指向边缘的方向值。这里假定计算区域是另一更大数据区域的一部分

2. 对所有在第一步中未赋方向值的格网，计算其对8个邻域格网的距离权落差

3. 确定具有最大落差值的格网，执行以下步骤

   (a)如果最大落差值小于0，则赋以负值以表面此格外方向末定（这种情况在经洼地填充处理的DEM中不会出现）;
   (b)如果最大落差大于或等于0，且最大值只有一个，则将对应此最大值的方向值作为中心格外的方向值;
   (c)如果最大落差大于0，且有一个以上的最大值，则在逻辑上以查表方式确定水流方向。也就是说，如果中心格网在一条边上的三个邻域点有相同的落差，则中间的格网方向被作为中心格网的水流方向，又如果中心格网的相对边上有两个邻域格网落差相同：则任选一格网方向作为水流方向；
   (d)如果最大落差等于0，且有一个以上的0值，则任选一个方向作为水流方向。在极端情况下，如果8个邻域高程值都与中心格网高程值相同，则中心格网方向值赋以255。

4. 对没有赋以负值、0、1、2、4、……、128的每一格网，检查对中心格网有最大落差的邻域格网。如果邻域格网的水流方向值为1、2、4、……、128，且此方向没有指向中心格网，则以此格网的方向值作为中心格网的方向值

5. 重复第4步，直至没有任何格网能被赋以方向值；对方向值不为1、2、4、……、128的格网赋以负值（这种情况在经洼地填充处理的DEM中不会出现）

水流累积矩阵的计算

汇水面积：描述了地表水流流经给定等高线长度上游所经过的区域，也称为上游汇水面积或流量累积值。

区域流水量累积数值矩阵表示区域地形每点的流水累积量，它可以用区域地形曲面的流水模拟方法获得。

方法步骤

流水模拟可以用区域的数字地面高程模型区域的流水方向数值矩阵来进行。

以规则格网表示的数字地面高程模型每点处有一个单位的水量，按照自然水流从高处流往低处的自然规律，根据区域地形的水流方向数字矩阵计算每点处所流过的水量数值，便可得到该区域水流累积数字矩阵。在此过程中实际上使用了权值全为1的权矩阵，如果考虑特殊情况如降水并不均匀的因素，则可以使用特定的权矩阵，以更精确地计算水流累积值。

                 

流域网络提取

通过所设定的阈值，沿水流方向将高于此阈值的格网连接起来，从而形成流域网络。

步骤

1. 流域边界生成：

   基础数据是水流方向矩阵。从给定的流域出口点出发，扫描整个水流方向矩阵，如果格网点水流流向出口点，则标注之，经过一次循环，找到流向出口点的所有格网；从以标注的格网点出发，再次扫描，标注流向已标注的DEM格网，如此循环，直到没有流入标注的格网为止，DEM数据被分为两部分，一部分是流域外格网，一部分是流域内格网；

2. 沟谷点识别：

   在所标识的流域范围内，确定位于沟谷线（汇水线）的格网点。确定一个流量阈值，流量阈值是区分沟谷点和非沟谷点的界限。在流量累计矩阵中，大于阈值的格网点被标识为沟谷点，小于的则为非地形特征点，流量累积值为零的点是分水线。

3. 沟谷段编码：

   给各个沟谷段分配一个级别码。是流域分割、水流网络、沟谷上都计算等的基础，有Strahler方法和Shreve方法等。

河网分级方法

STRAHLER分级

将所有河网中没有支流的河网定义为一级，两个一级河网汇流成二级，如此下去分别为第3级，第4级，一直到河网出水口。当且仅当同级别的两条河网汇流成一条河网时级别才会才会增加，对于低级河网汇入高级情况，高级河网不会增加。

SHREVE分级

将所有河网中没有支流的河网定义为一级，两个一级河网汇流成二级，对于以后更高级别的河网级别是汇入的河网级别之和。

 

Strahler河流分级方法   Shreve河流分级方法

流域分割和流域地形参数统计计算

格网单元分配：以沟谷段为依据，把流向该沟谷段的所有上游格网标识出来，从而实现子流域划分。

在所形成的流域网络上，可进一步划分出各个沟谷段的汇流区域，所有的子汇流区形成整体汇水区域。对每个汇流区域，可计算其各种统计参数，如：平均坡度、平均高程、沟谷长度等。

可视性分析

可视性分析的基本内容

通视性分析和可视性分析是地形可视性分析的两个基本内容。

通视性分析研究两点之间是否可见，一般回 答“是否能看到(Can I see that from here)” 问题；

可视性分析则研究在一点上所能看到的范围(或不能看见的范围)，回答“你能看到什么(What can I see from this location)”的问题。

通视性

从一个或多个位置所能看到的地形范围或与其他地形点之间的可见程度。

地形的可视性基本特征

1. 简单复杂性（原理简单计算复杂）

2. 不可逆性（从一点能够看到另一点，但从另一点却不一定能够看到该点）

3. 可视不变性（在不同的地形上产生的可视域是一样的）

影响地形可视性相关因素

高程基础数据

• DEM分辨率

• DEM揷值方式。

• DEM误差

• DEM结构等

地球曲率与大气折光

当分析区域较大时，不能忽略地球曲率所引起的高程误差

\[\delta h=R-\sqrt{R^2-D^2}=\frac{D^2}{2 R} \]

地形表面覆盖物

地球表面覆盖对可视域的分析影响较大，特别是地球表面所分布的人文设施高度(如建筑物、电视塔)以及植被分布、植被类型等。

观察视线(line of sight)

一般认为是直线，但距离较长时要考虑大气折光的影响，同时有些专业还要考虑视线的衰变效应。

观察目标

目标点(target point)一般关心的是其高度、地形可视分析中，尽管目标点的高度可为零，但一般不这样考虑。如: 军事、景观中常 考虑树木、建筑物的高度。目标高度设置的不同，也会造成可视分析结果的改变。

观察半径 (viewing radius)

决定着观察点周围的分析区域，进而影响着可视区域的大小。观察半径一般由最近观测距离和最大观测距离确定，其值为二者之差。

观察角度 (viewing azimuth)

指水平视角范围，其范围为\(0^{\circ} \sim 360^{\circ}\)，观察半径和观察角度共同决定着可视分析的区域大小。

地形可视性计算原理

常见可视性算法的流程

1. 确定过观察点和目标点所在的线段与XY平面垂直的平面S；
2. 求出地形模型中与平面S相交的所有边；
3. 判断相交的边是否位于观察点和目标点所在的线段上，如果有一条边在其上，则观察点和目标点不可视。

判断两点之间可视性的步骤

1. 确定视线；
2. 获取视线与目标点之间的地形点；
3. 确定视线和DEM的交点；
4. 内揷计算交点高程；
5. 计算交点的视线高程；
6. 二者比较以确定是否可视。这一过程计算量比较大，算法复杂度为 \(0\left(\mathrm{n}^2\right)\) 。

改进算法——关键斜率法

可视性分析的基本用途与应用领域

可视性分析的基本用途

1. 可视查询
2. 地形可视结构计算(即可视域的计算)
3. 水平可视计算

以将与DEM问题有关的可视性应用分为三个方面

1. 观察点问题(单点附近的可视域)

2. 视线通信问题(两个或多个点找可视网络)

3. 表面路径问题(指地形环境中与通视相关的路径设置问题。如对于给定两点和预设的观察点，求出给定两点之间的路径中，从预设观察点观 察，没有一个点可通视的最短路径。相反的一 种情况，即为找到每一个点都通视的最短路径。 前者的应用例子如走私者设计的走私路线；后者的应用例子，如旅游风景点中旅游路线的设置。)

DEM精度分析

误差源与误差分类

1. 误差：观测数据与其真值之间的差异。误差分为系统误差、随机误差和粗差。

2. 系统误差：由数据采集设备引起，一般表现为常数或函数特征。

3. 粗差：操作过程中粗心或不遵守规定引起的。

4. 不确定性：对真值的认知或肯定的程度，是更广泛意义上的误差。包含系统误差、偶然误差、粗差、可度量和不可度量误差、数据的不完整性、概念的模糊性等。

误差分析的主要内容

误差来源确定、误差性质鉴别、误差与精度描述、误差研究方法、误差传播模型、算法评价、地形参数生产质量控制、误差控制和减弱等。

DEM误差源分析：DEM数据结构、内插方法、采样点密度和分布、人为误差、采点设备误差、数据源误差、地形表面特征。

误差分类：

数据误差：DEM数据源误差和由内插引起的高程数据误差。

描述误差：DEM对地形表达的误差。

精度

精度是指误差分布的密集或离散程度。一般情况下，如果随机采样点超过30个，我们就认为误差符合正态分布。

\[A_c(D E M)=f\left(S, M, A, D_s, D_n, O\right) \]

\(A c\) 表示DEM的精度;

S表示DEM表面的特征;

M表示DEM表面建模的方法;

\(\mathbf{R}\) 表示DEM表面自身的特性（粗粘度）;

A, Ds, Dn 表示DEM原始数据的三个属性（精度、分布和密度）;

O表示其他要素。

DEM精度描述指标

DEM精度描述指标

中误差（RMSE）：从整体意义上描述了地形参数和其真值的离散程度，其真正价值在于它能提供真值可能存在的范围。通常以3倍中误差作为偶然误差的极限值并称为极限误差，如果某误差超过了极限误差，就认为是粗差。

误差自相关精度模型：

\[\sigma_{\text {slope }}^2=2 \sigma_e^2 \frac{(1-r)}{h^2} \]

误差与精度可视化模型：①频率分布图：高程、坡度等地形属性的频率和频率分布图，是分析地形属性分布特征和表示这种特征的一种统计方法，常用来分析内插算法对DEM精度影响；②等高值线图：通过DEM产生的等高线和原始地形图的套合检查，是检测和剔除原始高程数据误差的有效手段；③误差图：灰度图、晕渲图、三维立体图等计算机可视化技术是空间数据不确定性研究的重要工具。

DEM精度评定方法与精度模型

DEM精度模型：

DEM高程精度的评定：①实验分析：从数据源随机抽取样区或者通过专家经验选区典型地貌样区，通过各种采样方式直接依据地形情况选用高程内插数学模型，来估算所建数字高程模型的精度；②理论分析：试图通过数学方法来寻求对地表起伏复杂变化的统一量度，以及各种内插数学模型的通用表达式，使评定方法、评定所得的精度和某些规律性结论具有比较普遍的理论意义。

检查点：事先将检查点按网格或任意形式进行分布，对生成的DEM在这些点处进行检查。将这些点处的内插高程和实际高程逐一比较得到各个点的误差，然后计算中误差。

\[\sigma_{\mathrm{DEM}}=\frac{1}{n} \sum_k^n\left(R_k-Z_k\right)^2 \]

DEM经验模型建立的两个基本环节：原始数据精度评价和DEM精度评定。

DEM精度的理论模型研究意义：预测DEM内插精度，为数据采样提供指导。

DEM精度模型分析

基于等高线数据DEM精度分析

1. 原始数据质量；
2. 数据点的分布和密度；
3. 内插数学模型；
4. 等高距。

基础性影响是原始数据点；

全面影响是等高距与内插间距的函数关系。

基于格网数据的DEM精度分析

1. 原始采样点数据的误差，可通过对数据采样方式的分析得到；
2. 不同内插方法会产生不同的内插曲面，引起DEM的表面建模的精度损失。

标签：高程,复习,格网,笔记,地形,DEM,数据,等高线
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