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220. 最大公约数

给定整数 \(N\)，求 \(1 \le x,y \le N\) 且 \(GCD(x,y)\) 为素数的数对 \((x,y)\) 有多少对。

\(GCD(x,y)\) 即求 \(x，y\) 的最大公约数。

输入格式

输入一个整数 \(N\)。

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的数对数量。

数据范围

\(1 \le N \le 10^7\)

输入样例：

4

输出样例：

4

解题思路

欧拉函数，双指针

考虑最后的素数结果，对于 \((x,y)=1\)，其中 \(x<y\)，其贡献为有多少个素数结果 \(d\)，使得 \(d\times y\leq n\)，这样的较大值 \(y\) 的贡献为 \(\phi(y)\times cnt_d\)，由于 \(x,y\) 有序，需乘以 \(2\)，另外还要加上 \(x=y\) 且 \(y\) 为素数的情况

• 时间复杂度：\(O(n)\)

代码

// Problem: 最大公约数
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/222/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e7+5;
int n;
int m,prime[N],v[N],phi[N];
void euler(int n)
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			v[i]=prime[++m]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if((LL)i*prime[j]>n||v[i]<prime[j])break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
		}
	}
}
int main()
{
    euler(N-1);
    scanf("%d",&n);
    LL res=0;
    int j=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
    	while(i*prime[j+1]<=n)j++;
    	res+=phi[i]*j;
    	if(i!=1)res+=phi[i]*j;
    }
    printf("%lld",res);
    return 0;
}