关系数据库

关系模型的数据结构及其形式化定义

关系的形式化定义及其有关概念

域（Domain）：域是一组具有相同数据类型的值的集合。
笛卡尔积（Cartesian Product）：一个记录叫做一个元组（tuple),元组中每一个属性值，叫一个分量。允许其中某些域是相同的。
D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn ＝
｛（d1，d2，…，dn）｜diDi，i＝1，2，…，n｝
所有域的所有取值的一个组合不能重复
基数（Cardinal number）：域的元素个数

关系的性质

关系是一种规范化了的二维表中行的集合

· 每一列中的分量必须来自同一个域，必须是同一类型的数据。
· 不同的属性可来自同一个域，不同的属性必须有不同的名字。
· 列的顺序可以任意交换。
· 关系中元组的顺序（即行序）可任意。
· 关系中不允许出现相同的元组。
· 关系中每一分量必须是不可分的数据项

关系模式

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关系的码与关系的完整性

候选码（键）与主码（键）

候选码（Candidate key）
若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，其真子集不行，则称该属性组为候选码。（最少属性的集合）
全码（All-key）
最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码（All-key）
主码（Primary Key）
从多个候选码中选择一个作为查询、插入或删除元组的操作变量，被选用的候选码称为主码。
注意：每个关系必须选择一个主码，且不能随意改变。
主属性（Prime Attribute）与非码属性（Non-Prime Attribute）
主属性：包含在主码中的各个属性称为主属性
非码属性：不包含在任何候选码中的属性称为非主属性（或非码属性）

外码

依赖于另一个关系的主码
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例子:

外码并不一定要与相应的主码同名
当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名字，以便于识别

关系的完整性

数据库的完整性

数据库的完整性是指数据库中数据的正确性和相容性。为了保证数据库的完整性，数据库管理系统（DBMS）提供了各种机制，包括实体完整性、参照完整性、用户定义的完整性和域完整性。

实体完整性：确保每个表都有一个主键，并且主键列中的值是唯一的和非空的。实体完整性可以防止表中出现重复的记录。
插入或对主码列进行更新操作时，关系数据库管理系统按照实体完整性规则自动进行检查。包括：
- 检查主码值是否唯一，如果不唯一则拒绝插入或修改
- 检查主码值是否唯一，如果不唯一则拒绝插入或修改
参照完整性：确保外键列中的值必须与参照它的主键列中的某个值相匹配，或者为空。参照完整性可以防止引用不存在的记录。
例如，对表SC和Student有四种可能破坏参照完整性的情况 :
- SC表中增加一个元组，该元组的Sno属性的值在表Student中找不到一个元组，其Sno属性的值与之相等。
- 修改SC表中的一个元组，修改后该元组的Sno属性的值在表Student中找不到一个元组，其Sno属性的值与之相等。
- 从Student表中删除一个元组，造成SC表中某些元组的Sno属性的值在表Student中找不到一个元组，其Sno属性的值与之相等。
- 修改Student表中一个元组的Sno属性，造成SC表中某些元组的Sno属性的值在表Student中找不到一个元组，其Sno属性的值与之相等。
用户定义的完整性：由用户定义的完整性规则，它反映了应用领域中的特定约束。例如，某个属性值必须在一定范围内，或者两个属性值必须满足某种关系。
域完整性：确保表中列的数据类型和约束是有效的。例如，某个列的数据类型为整数，那么这个列只能接受整数值。

数据库完整性对于维护数据的准确性和一致性至关重要，特别是在处理关键任务和敏感数据时。它还有助于减少数据冗余，提高数据查询的效率，并确保数据的可靠性。

关系代数

关系代数是一种抽象的查询语言；
关系代数的运算对象与运算结果都是关系。

关系代数的分类及其运算符

传统的集合运算：
把关系看成元组的集合，以元组作为集合中元素来进行运算，其运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行的。
包括并、差、交和笛卡尔积等运算
专门的关系运算：
不仅涉及行运算，也涉及列运算，这种运算是为数据库的应用而引进的特殊运算。
包括选取、投影、连接和除法等运算。

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传统的集合运算

设给定两个关系R、S，若满足：
（１）具有相同的列数（或称度数）n;
（２） R中第i个属性和S中第i个属性必须来自同一个域。
则说关系R、S是相容的。除笛卡尔积外，其他的集合运算要求参加运算的关系必须满足上述的相容性定义。

并（Union)
R 和S：
具有相同的目n（即两个关系都有n个属性）
相应的属性取自同一个域
结果去重
R∪S ：
仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成
```
  R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
```
差（Difference）
R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域
R - S
仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成
```
  R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
```
交（Intersection）
R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成
```
  R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
  R∩S=R–(R−S）
```
笛卡尔积
严格地讲应该是广义的笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
R: n目关系，k 1 个元组
S: m目关系，k2 个元组
R×S
列：（n+m）列元组的集合
元组的前n列是关系R的一个元组
后m列是关系S的一个元组
行：k1 × k2 个元组
```
  R × S = { t r   t s ^ ∣ t r ∈ R ∧ t s ∈ S } R×S = \{\widehat{tr \ ts} |tr \in R ∧ ts \in S \}
  R×S={ tr ts∣tr∈R∧ts∈S}
```

专门的关系运算

由于传统的集合运算，只是从行的角度进行，而要灵活地实现关系数据库多样的查询操作，必须引入专门的关系运算。
在讲专门的关系运算之前，为叙述上的方便先引入几个概念。

R，t∈R，t[Ai]
设关系模式为R(A1，A2，…，An)
employer（no,name,age）
t∈R表示t是R的一个元组。例如 {t/t∈R}
t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量
A，t[A]
若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。
t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
tr ts
R为n目关系，S为m目关系。
tr ∈R，ts∈S， tr ts称为元组的连接。
tr ts是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。
象集Zx
给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：
Zx={t[Z]|t ∈R，t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合