利用 Python 解决 “奇数之和” 问题

一、问题描述

在这个问题场景中，有着特定的时间和内存限制，每次测试时间限制为 2 秒，每个测试的内存限制为 256 MB。我们会获得两个整数 n 和 k，任务是判断 n 是否可以表示为 k 个不同的正奇数（不能被 2 整除的整数）之和，并且需要对 t 个独立的测试用例进行这样的判断操作。

输入要求

输入的第一行包含一个整数 t（满足 1≤t≤105），它代表着测试用例的数量。接下来的 t 行用于描述具体的测试用例，每一行包含两个整数 n 和 k（满足 1≤n,k≤107）。

输出要求

对于每一个测试用例，如果 n 能够表示为 k 个不同的正奇数之和，那么就打印 “YES”（不带引号），否则就打印 “NO”。

以下是一些输入输出的示例帮助理解：

输入示例：

6
3 1
4 2
10 3
10 2
16 4
16 5

输出示例：

YES
YES
NO
YES
YES
NO

具体说明示例情况如下：

• 在第一个测试用例中，3 可以直接表示为 3 本身（它就是奇数）。
• 在第二个测试用例中，4 可以表示为 1 + 3，是两个不同的正奇数之和。
• 在第三个测试用例中，10 无法表示成三个不同的正奇数之和。
• 在第四个测试用例中，10 可以表示为 3 + 7 这样两个不同正奇数的和。
• 在第五个测试用例中，16 能够表示为 1 + 3 + 5 + 7，即四个不同的正奇数之和。
• 在第六个测试用例中，16 不能表示为 5 个不同的正奇数之和。

二、Python 代码实现

以下是使用 Python 语言编写的用于解决该问题的代码：

def can_represent_sum(n, k):
    # 计算 k 个最小奇数的和
    min_sum = k * k

    # 如果 n 小于最小和，或者 n 和 k 的奇偶性不同，则返回 "NO"
    if n < min_sum or (n % 2!= k % 2):
        return "NO"
    else:
        return "YES"

def main():
    # 读取测试用例数量
    t = int(input())
    results = []

    for _ in range(t):
        # 读取 n 和 k
        n, k = map(int, input().split())
        results.append(can_represent_sum(n, k))

    # 输出所有结果
    print("\n".join(results))

if __name__ == "__main__":
    main()

代码详细说明

1. can_represent_sum 函数：
   • 计算最小奇数和：通过数学规律可知，前 k 个最小奇数 1 + 3 + 5 +... + (2*k - 1) 的和可以用公式 k * k 来计算得出。例如，当 k = 3 时，对应的三个最小奇数为 1、3、5，它们的和就是 3 * 3 = 9。
   • 判断条件：
     • 首先判断 n 是否大于等于这个最小奇数和，即 n >= k * k，只有满足这个条件，n 才有可能表示成 k 个不同正奇数的和，因为如果 n 比这个最小和还小，那肯定无法满足要求。
     • 同时还要判断 n 和 k 的奇偶性是否相同，因为奇数个奇数相加结果为奇数，偶数个奇数相加结果为偶数。如果 n 和 k 的奇偶性不一致，也无法满足 n 能表示为 k 个不同正奇数之和的要求。若上述两个条件都满足，则返回 “YES”，否则返回 “NO”。
2. main 函数：
   • 先是读取输入的测试用例数量 t，接着初始化一个空列表 results，用于存放每个测试用例的判断结果。
   • 通过循环逐个读取每一组 n 和 k 的值，并调用 can_represent_sum 函数来判断该组数据是否满足要求，将结果添加到 results 列表中。
   • 最后通过 print("\n".join(results)) 将列表中的结果逐行输出。

三、时间复杂度分析

对于每一个测试用例而言，在 can_represent_sum 函数中进行的判断操作都是常数级别的，时间复杂度为 O(1)。而整个程序需要对 t 个测试用例依次进行这样的操作，所以整体的时间复杂度就是 O(t)，这种时间复杂度特性使得该代码能够很好地应对大规模的输入数据情况。

希望通过本文的介绍，大家能够清晰地理解这个 “奇数之和” 问题以及对应的 Python 解决思路与代码实现细节。