数据结构与算法学习笔记----SPFA算法

数据结构与算法学习笔记----SPFA算法

@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2024.12.19

SPFA算法

这同样是一种单源最短路径算法，是队列优化的Bellman-ford算法，因此他能处理的情况和Bellman-ford算法一样，但是在一般情况下，时间复杂度更低，为 O ( m ) O(m) O(m)， m m m为边数，最坏情况为 O ( n m ) O(nm) O(nm)。

基本思想

spfa的思想和bellman-ford算法一样。

可以发现bellman-ford算法在松弛操作时比较无脑，会遍历所有边进行遍历，但其实如果对于一个边 ( a , b ) (a,b) (a,b)来说，如果更新的话说明有 d i s t [ b ] > d i s t [ a ] + w ( a , b ) dist[b] > dist[a] + w(a,b) dist[b]>dist[a]+w(a,b)，如果在这一轮中 d i s t [ a ] dist[a] dist[a]没有变，那么 d i s t [ b ] dist[b] dist[b]也不会变，因此这里可以考虑使用优化dijkstra的方法优化bellman-ford算法，也就是队列优化，具体的看代码吧，代码和dijkstra很像， 加入了比较详细的注释。

这里的无法到达判断和bellman-ford不一样，直接判断是否dist[n] == inf即可，因为每一次更新都肯定是能够从源点到达的点，而不是所有的边。

Acwing 853. 有边数限制的最短路

[原题链接](853. 有边数限制的最短路 - AcWing题库)

给定一个 n n n个点 m m m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

请你求出 1 1 1号点到 k k k号点的最多经过 k k k条边的最短距离，如果无法从 1 1 1号点走到 n n n号点，则输出 i m p o s s i b l e impossible impossible。

注意：图中可能出现负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数 n n n, m m m, k k k。

接下来 m m m行，每行包含三个整数 x x x、 y y y、 z z z，表示存在一条从点 x x x到点 y y y的有向边，边长为 z z z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 1 1号点到 n n n号点的最多经过 k k k条边的最短距离。

如果无法从 1 1 1号点走到 n n n号点，则输出 i m p o s s i b l e impossible impossible。

数据范围

1 ≤ n , k ≤ 500 1 \leq n,k \leq 500 1≤n,k≤500,

1 ≤ m ≤ 10000 1 \leq m \leq 10000 1≤m≤10000,

1 ≤ x , y ≤ n 1 \leq x, y \leq n 1≤x,y≤n,

图中涉及边长均不超过10000。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 100010, inf = 0x3f3f3f3f;

int dist[N];
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
bool st[N];    // 用来记录点的距离是否被更新了，若距离更新则加入队列并置1.
int n, m;

void add(int a, int b, int c)  // 邻接表加边操作
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始化距离
    dist[1] = 0;
    
    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;   // 源点入队
    
    while(q.size())
    {
        int t = q.front();  // 取出队头
        q.pop();
        
        st[t] = false;  // 处理后置0
        
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])   // 遍历出边，更新距离。
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + w[i])    // 判断更新条件
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if(!st[j])   // 若更新了但没在更新队列中，就加入队列。
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    return dist[n];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    for(int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    
    int t = spfa();
    
    if(t == inf) puts("impossible");
    else cout << t << endl;
    
    return 0;
}