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1. 问题描述
给定一个下标从 0 开始的 m×n 的二进制矩阵 grid,对于任意一个坐标 (row,col) 的元素,仅可以向右走 (row,col+1) 或者向下走 (row+1,col)。现在从坐标 (0,0) 出发至终点
(m−1,n−1),判断是否存在一条路径,使得路径上存在相同数量的 0 和 1,如果存在,则返回 true,否则返回 false。
2. 解决方案概述
为了高效地解决这个问题,我们可以使用 深度优先搜索(DFS) 并结合 缓存 来避免重复计算。具体步骤如下:
初始化:
- m 和 n 分别表示矩阵的行数和列数。
- 将矩阵中的 0 替换成 -1,1 保持不变。
- 检查路径长度是否为奇数,如果是则直接返回 false。
深度优先搜索(DFS): - DFS 函数从当前节点 (i, j) 开始进行搜索。
- 检查当前节点是否超出矩阵边界,如果是则返回 false。
- 更新 k,即路径上元素的和。
- 如果到达终点 (m-1, n-1) 且 k 为 0,返回 true。
- 使用字典 cache 来缓存已经计算过的结果,避免重复计算。
- 向右或向下移动,继续进行 DFS。
3. 具体实现
using System;
using System.Collections.Generic;
public class Solution {
public bool IsThereAPath(int[][] grid) {
int m = grid.Length;
int n = grid[0].Length;
// 将矩阵中的 0 替换成 -1,1 保持不变
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (grid[i][j] == 0) {
grid[i][j] = -1;
}
}
}
// 如果路径长度为奇数,直接返回 false
if ((m + n - 1) % 2 != 0) {
return false;
}
// 使用字典作为缓存
Dictionary<(int, int, int), bool> cache = new Dictionary<(int, int, int), bool>();
return DFS(0, 0, 0, grid, m, n, cache);
}
private bool DFS(int i, int j, int k, int[][] grid, int m, int n, Dictionary<(int, int, int), bool> cache) {
if (i == m || j == n) {
return false;
}
k += grid[i][j];
if (i == m - 1 && j == n - 1) {
return k == 0;
}
var key = (i, j, k);
if (cache.TryGetValue(key, out bool cachedResult)) {
return cachedResult;
}
bool result = DFS(i + 1, j, k, grid, m, n, cache) || DFS(i, j + 1, k, grid, m, n, cache);
cache[key] = result;
return result;
}
public static void Main(string[] args) {
Solution solution = new Solution();
// 示例 1
int[][] grid1 = new int[][] {
new int[] {0, 1, 0, 0},
new int[] {0, 1, 0, 0},
new int[] {1, 0, 1, 0}
};
bool result1 = solution.IsThereAPath(grid1);
Console.WriteLine($"Example 1: {result1}"); // 输出: True
// 示例 2
int[][] grid2 = new int[][] {
new int[] {0, 0, 0, 0},
new int[] {1, 1, 1, 1},
new int[] {0, 0, 0, 0}
};
bool result2 = solution.IsThereAPath(grid2);
Console.WriteLine($"Example 2: {result2}"); // 输出: False
}
}
4. 示例解析
示例 1
输入:
int[][] grid1 = new int[][] {
new int[] {0, 1, 0, 0},
new int[] {0, 1, 0, 0},
new int[] {1, 0, 1, 0}
};
输出:True
解释:矩阵中有路径从 (0, 0) 到 (2, 3),路径上存在 3 个 0 和 3 个 1,因此返回 True。
示例 2
输入:
int[][] grid2 = new int[][] {
new int[] {0, 0, 0, 0},
new int[] {1, 1, 1, 1},
new int[] {0, 0, 0, 0}
};
输出:False
解释:矩阵中没有路径从 (0, 0) 到 (2, 3),路径上存在相同数量的 0 和 1,因此返回 False。
5. 总结
通过使用深度优先搜索(DFS)和缓存技术,我们可以高效地判断矩阵中是否存在一条路径,使得路径上经过的 0 和 1 的数量相同。这种方法不仅能够处理较大的矩阵,还能避免不必要的重复计算,提高算法的效率。
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