双路快速排序和三路排序算法

双路快速排序

一、概念及其介绍

双路快速排序算法是随机化快速排序的改进版本，partition 过程使用两个索引值（i、j）用来遍历数组，将 <v 的元素放在索引i所指向位置的左边，而将 >v 的元素放在索引j所指向位置的右边，v 代表标定值。

二、适用说明

时间和空间复杂度同随机化快速排序。 对于有大量重复元素的数组，如果使用上一节随机化快速排序效率是非常低的，导致 partition 后大于基点或者小于基点数据的子数组长度会极度不平衡，甚至会退化成 O(n*2) 时间复杂度的算法，对这种情况可以使用双路快速排序算法。

三、过程

使用两个索引值（i、j）用来遍历我们的序列，将 <=v 的元素放在索引 i 所指向位置的左边，而将 >=v 的元素放在索引 j 所指向位置的右边，平衡左右两边子数组。

四、Java 实现分析

提供的Java代码实现了一个双路快速排序算法。以下是一些关键点的解释：

• 随机选择标定点：为了减少最坏情况的发生概率，算法首先随机选择一个标定点，并将其与数组的第一个元素交换位置。这一步有助于提高算法的平均性能。

• 分区函数 (partition)：该函数实现了双路快速排序的核心逻辑。它使用两个指针 i 和 j 来遍历数组，根据元素与标定点的关系调整指针位置，并在必要时交换元素。最终返回标定点的正确位置。

• 递归排序：sort 函数是一个递归函数，用于对数组的不同部分进行排序。每次调用 partition 函数后，都会得到一个新的标定点位置，然后对左右两部分分别进行递归排序。

• 主函数 (main)：这里创建了一个测试用例来验证算法的正确性和性能。通过生成一个大数组并调用 sort 方法对其进行排序，可以观察到双路快速排序在大数据量下的高效表现。

package runoob;

/**
 * 双路快速排序
 */
public class QuickSort2Ways {

    //核心代码---开始
    private static int partition(Comparable[] arr, int l, int r){
        // 随机在arr[l...r]的范围中, 选择一个数值作为标定点pivot
        swap( arr, l , (int)(Math.random()*(r-l+1))+l );
        Comparable v = arr[l];
        // arr[l+1...i) <= v; arr(j...r] >= v
        int i = l+1, j = r;
        while( true ){
            while( i <= r && arr[i].compareTo(v) < 0 )
                i ++;
            while( j >= l+1 && arr[j].compareTo(v) > 0 )
                j --;
            if( i > j )
                break;
            swap( arr, i, j );
            i ++;
            j --;
        }
        swap(arr, l, j);
        return j;
    }
    //核心代码---结束

    // 递归使用快速排序,对arr[l...r]的范围进行排序
    private static void sort(Comparable[] arr, int l, int r){
        if (l >= r) {
            return;
        }
        int p = partition(arr, l, r);
        sort(arr, l, p-1 );
        sort(arr, p+1, r);
    }

    public static void sort(Comparable[] arr){

        int n = arr.length;
        sort(arr, 0, n-1);
    }

    private static void swap(Object[] arr, int i, int j) {
        Object t = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = t;
    }

    // 测试 QuickSort
    public static void main(String[] args) {

        // 双路快速排序算法也是一个O(nlogn)复杂度的算法
        // 可以在1秒之内轻松处理100万数量级的数据

        // Quick Sort也是一个O(nlogn)复杂度的算法
        // 可以在1秒之内轻松处理100万数量级的数据
        int N = 1000000;
        Integer[] arr = SortTestHelper.generateRandomArray(N, 0, 100000);
        sort(arr);
        SortTestHelper.printArray(arr);

    }
}

三路排序算法

一、概念及其介绍

三路快速排序是双路快速排序的进一步改进版本，三路排序算法把排序的数据分为三部分，分别为小于 v，等于 v，大于 v，v 为标定值，这样三部分的数据中，等于 v 的数据在下次递归中不再需要排序，小于 v 和大于 v 的数据也不会出现某一个特别多的情况），通过此方式三路快速排序算法的性能更优。

二、适用说明

时间和空间复杂度同随机化快速排序。

三路快速排序算法是使用三路划分策略对数组进行划分，对处理大量重复元素的数组非常有效提高快速排序的过程。它添加处理等于划分元素值的逻辑，将所有等于划分元素的值集中在一起。

三、过程

我们分三种情况进行讨论 partiton 过程，i 表示遍历的当前索引位置：

（1）当前处理的元素 e=V，元素 e 直接纳入蓝色区间，同时i向后移一位。

（2）当前处理元素 e<v，e 和等于 V 区间的第一个位置数值进行交换，同时索引 lt 和 i 都向后移动一位

（3）当前处理元素 e>v，e 和 gt-1 索引位置的数值进行交换，同时 gt 索引向前移动一位。

最后当 i=gt 时，结束遍历，同时需要把 v 和索引 lt 指向的数值进行交换，这样这个排序过程就完成了，然后对 <V 和 >V 的数组部分用同样的方法再进行递归排序。

假设有一个数组 [2, 5, 2, 3, 7, 5, 5, 2]，标定点 v 为 5：

1. 初始状态：lt = 0, i = 1, gt = 8

   • 数组：[2, 5, 2, 3, 7, 5, 5, 2]

2. 遍历过程：

   • 当 i = 1 时，arr[i] == v，i 向前移动一位：i = 2
   • 当 i = 2 时，arr[i] < v，交换 arr[2] 和 arr[lt+1]，lt 和 i 前进：lt = 1, i = 3
     • 数组：[2, 2, 5, 3, 7, 5, 5, 2]
   • 当 i = 3 时，arr[i] < v，交换 arr[3] 和 arr[lt+1]，lt 和 i 前进：lt = 2, i = 4
     • 数组：[2, 2, 3, 5, 7, 5, 5, 2]
   • 当 i = 4 时，arr[i] > v，交换 arr[4] 和 arr[gt-1]，gt 向前移动：gt = 7
     • 数组：[2, 2, 3, 5, 5, 5, 7, 2]
   • 当 i = 4 时，arr[i] == v，i 向前移动一位：i = 5
   • 当 i = 5 时，arr[i] == v，i 向前移动一位：i = 6
   • 当 i = 6 时，arr[i] > v，交换 arr[6] 和 arr[gt-1]，gt 向前移动：gt = 6
     • 数组：[2, 2, 3, 5, 5, 5, 2, 7]
   • 当 i = 6 时，i == gt，遍历结束。

3. 最后，将标定点 5 与 lt 指向的元素交换：lt = 3

   • 数组：[2, 2, 3, 5, 5, 5, 2, 7]

四、Java 实例代码

package runoob;

/**
 * 三路快速排序
 */
public class QuickSort3Ways {
    //核心代码---开始
    // 递归使用快速排序,对arr[l...r]的范围进行排序
    private static void sort(Comparable[] arr, int l, int r){
        if (l >= r) {
            return;
        }
        // 随机在arr[l...r]的范围中, 选择一个数值作为标定点pivot
        swap( arr, l, (int)(Math.random()*(r-l+1)) + l );
        Comparable v = arr[l];
        int lt = l;     // arr[l+1...lt] < v
        int gt = r + 1; // arr[gt...r] > v
        int i = l+1;    // arr[lt+1...i) == v
        while( i < gt ){
            if( arr[i].compareTo(v) < 0 ){
                swap( arr, i, lt+1);
                i ++;
                lt ++;
            }
            else if( arr[i].compareTo(v) > 0 ){
                swap( arr, i, gt-1);
                gt --;
            }
            else{ // arr[i] == v
                i ++;
            }
        }
        swap( arr, l, lt );
        sort(arr, l, lt-1);
        sort(arr, gt, r);
    }
    //核心代码---结束

    public static void sort(Comparable[] arr){

        int n = arr.length;
        sort(arr, 0, n-1);
    }

    private static void swap(Object[] arr, int i, int j) {
        Object t = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = t;
    }

    // 测试 QuickSort3Ways
    public static void main(String[] args) {

        // 三路快速排序算法也是一个O(nlogn)复杂度的算法
        // 可以在1秒之内轻松处理100万数量级的数据
        int N = 1000000;
        Integer[] arr = SortTestHelper.generateRandomArray(N, 0, 100000);
        sort(arr);
        SortTestHelper.printArray(arr);
    }
}

排序算法衍生问题

本小节对本教程的排序算法做一个总结。

（1）归并排序和快速排序都使用了分治算法。

顾名思义，就是将原问题分割查能同等结构的子问题，之后将子问题逐一解决后，原问题也就得到了解决。

（2）逆序对的定义

如果存在正整数 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j]，则 <A[i], A[j]> 这个有序对称为 A 的一个逆序对。我们可以使用本教程的归并思想求逆序对的数量。

（3）取数组中第 n 大的元素

并不需要对整个数组进行排序，使用快速排序的思路求数组中第 n 大元素算法复杂度为 O(n)。