异或哈希算法

思想

我们关注一个区间内出现了什么数字。

因此，我们对每一个数字赋一个随机权值，

然后对这个权值进行一系列操作，例如前缀 \(\operatorname{xor}\) 等。

对于两个序列，通过 Hash 的方式判断即可。

同时，也可用于满足某些条件的子序列数量的问题。

我们可以通过 Hash 的方式找到前面满足某些条件的数，来匹配子序列。

例题

区间判断

AtCoder [ABC250E] Prefix Equality

题目描述：

给定序列 \(A,B\)，询问 \(A\) 的前 \(x\) 个数和 \(B\) 的前 \(y\) 个数去重后是否相同。

做法：

我们对每一个数赋一个随机权值，

将序列中第一次出现的这个数赋为权值，后面的都赋为 \(0\)。

那么我们只需要判断两个前缀异或和是否相同即可。

使用 mt19937_64 生成比较强的随机数，冲突概率较小。

• 代码

  using u64 = uint64_t;
  
  mt19937_64 rnd_big(114514);
  
  int n;
  
  u64 W[N];
  
  u64 A[N], B[N];
  
  unordered_set<int> appA, appB;
  unordered_map<int, u64> hashing;
  
  u64 get_hashing(int x) {
      return hashing.count(x) ? hashing[x] : hashing[x] = rnd_big();
  }
  
  void Main() {
      cin >> n;
      for (int i = 1; i <= n; ++i) {
          int x;
          cin >> x;
          if (appA.count(x))
              A[i] = A[i - 1];
          else
              A[i] = A[i - 1] ^ get_hashing(x), appA.insert(x);
      }
      for (int i = 1; i <= n; ++i) {
          int x;
          cin >> x;
          if (appB.count(x))
              B[i] = B[i - 1];
          else
              B[i] = B[i - 1] ^ get_hashing(x), appB.insert(x);
      }
      int q;
      cin >> q;
      while (q--) {
          int x, y;
          cin >> x >> y;
          puts(A[x] == B[y] ? "Yes" : "No");
      }
  }
  

区间计数

变种

矩阵乘积

来源是 CSP-S 2023 消消乐，用处不大。

但是这引出了类似异或和的一个特有做法。

设有一个群 \((G,\cdot)\)，将元素分为入元素和出元素，令入元素和出元素互为逆元。

那么，如果一个区间 \([l,r]\) 的某种运算的前缀和为单位元了，

那么意味着这个区间的元素可以互相抵消，我们可以将前缀和放到 map 里面记录，

对于每一个 \(S(r)\) 对应的 \(S(l)=S(r),l<r\) 就可以统计满足条件的子区间数量。