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卡玛网-46.携带研究材料
题目
题目描述：
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。
小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。
输入描述：
第一行包含两个正整数，第一个整数 M 代表研究材料的种类，第二个正整数 N，代表小明的行李空间。
第二行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的所占空间。
第三行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的价值。
输出描述：
输出一个整数，代表小明能够携带的研究材料的最大价值。
输入示例：
6 1
2 2 3 1 5 2
2 3 1 5 4 3
输出示例：
5
提示信息：
小明能够携带 6 种研究材料，但是行李空间只有 1，而占用空间为 1 的研究材料价值为 5，所以最终答案输出 5。
数据范围：
1 <= N <= 5000
1 <= M <= 5000
研究材料占用空间和价值都小于等于 1000
思路
视频讲解1：带你学透0-1背包问题！| 关于背包问题，你不清楚的地方，这里都讲了！
视频讲解2：带你学透01背包问题（滚动数组篇） | 从此对背包问题不再迷茫！
例子：
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
二维数组：
动态规划五部曲：
1：确定dp数组以及下标含义：使用二维数组，两个维度分别表示物品和背包容量，纵向表示物品，横向表示背包容量：
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为 j 的背包之后最大的价值总和。
2：确定递推公式：求取dp[i][j]有两种情况，向背包中放入或者不放入物品 i，如果不放入物品 i，则当前情况下物品最大价值等于dp[i-1][j]；如果放入物品 i，首先注意背包要留出物品 i 的容量，当前情况下物品最大价值等于dp[i - 1][j - weight[i]]+value[i]。因此，递推公式为dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]]+value[i])
3：初始化数组：首先，背包容量为 0 时，背包价值一定为0，因此初始化dp[i][0] = 0；由递推公式可知dp[i][j]需要从dp[i-1][j]进行推导，所以还要初始化i = 0的情况，当j < weight[i]时，初始化dp[0][j] = 0，j > weight[i]时，初始化dp[0][j] = value[i]。其余下标的值最终都会被递推结果覆盖，所以初始化为任意值都可以。最终初始化情况如下：
4：确定遍历顺序：由递归公式可知dp[i][j]由其左上角和正上方的两个下标决定，所以从左往右，从上往下遍历即可，选择先遍历物品，后遍历背包容量或者相反顺序都可以。
5：举例推导：
滚动数组：
在二维数组遍历时可以将每一层的结果拷贝到下一层之中，然后递推公式也可以只在本层进行，等效于只使用了一个滚动数组保存结果。
动态规划五部曲：
1：确定dp数组以及下标含义：dp[j]表示容量为 j 的背包可以放入的最大的物品价值。
2：确定递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])，即在二维数组的公式基础上去掉 i 维度。
3：初始化数组：由于物品价值都大于0，为了不让初始值覆盖掉 dp 数组的取值，全部初始化为 0 即可。
4：确定遍历顺序：遍历时背包容量从大到小，为了保证每一个物品都只会被放入背包一次，如果使用正序遍历，每个物品都会被重复放入背包多次，可以写出正序遍历代码自己测试。
5：举例推导：
题解
二维数组：
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int M = scanner.nextInt(); // 研究材料的种类
int N = scanner.nextInt(); // 行李空间
int[] weight = new int[M]; // 每种研究材料所占空间
int[] value = new int[M]; // 每种研究材料的价值
for (int i = 0; i < M; i++) {
weight[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 0; i < M; i++) {
value[i] = scanner.nextInt();
}
scanner.close();
int[][] dp = new int[M][N + 1];
//初始化dp数组
for (int i = 0; i < M; i++) {
dp[i][0] = 0;
}
for (int i = weight[0]; i < N + 1; i++) {
dp[0][i] = value[0];
}
//从左到右，从上到下遍历
for (int i = 1; i < M; i++) {
for (int j = 1; j < N + 1; j++) {
if (j - weight[i] >= 0) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i], dp[i - 1][j]);
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
System.out.println(dp[M - 1][N]);
}
}
滚动数组：
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int M = scanner.nextInt(); // 研究材料的种类
int N = scanner.nextInt(); // 行李空间
int[] weight = new int[M]; // 每种研究材料所占空间
int[] value = new int[M]; // 每种研究材料的价值
for (int i = 0; i < M; i++) {
weight[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 0; i < M; i++) {
value[i] = scanner.nextInt();
}
scanner.close();
int[] dp = new int[N + 1];
for (int i = 0; i < M; i++) {
for (int j = N; j > 0; j--) {
if (j - weight[i] >= 0) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[N]);
}
}
416. 分割等和子集
题目
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
提示：
1 <= nums.length <= 2001 <= nums[i] <= 100
思路
确定以下四点后才能在本题套用01背包模板：
- 背包的体积为 sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中的每一个元素都不可重复放入。
动态规划五部曲：
- 确定dp数组以及下标的含义：
dp[j]表示容量为 j 的背包能放的最大物品价值，当dp[target] = target时，说明可以进行分割。 - 确定递推公式：套用01背包递推公式，
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])。 - 初始化数组：数组元素全都初始化为0。
- 确定遍历顺序：遍历物品的 for 循环放在外层，遍历背包的 for 循环放在内层，且内层 for 循环倒序遍历。
- 举例推导：
题解
class Solution {
public boolean canPartition(int[] nums) {
int sum = 0;
for (int i : nums)
sum += i;
if (sum % 2 == 1)
return false;
int target = sum / 2;
int[] dp = new int[target + 1];
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = target; j > 0; j--) {
if (j >= nums[i]) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
if (dp[target] == sum / 2)
return true;
}
}
return false;
}
}
0; j–) {
if (j >= nums[i]) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
if (dp[target] == sum / 2)
return true;
}
}
return false;
}
}