1.B. Brightness Begins

思路

要求最后的灯泡打开的数量，由于一开始灯泡是打开的，如果最后还需要打开，那么操作数量一定是偶数，移目至操作前提，需要灯泡的序号能整除 \(x\)，由于遍历1~x，推出最后灯泡 \(i\) 亮的条件是：\(1~i\) 中有偶数个\(i\)的因数，即 \(i\) 有偶数个因数，反之即有奇数个因数，由于因数成对存在，只有当这个数是完全平方数的时候才会有奇数个因数，所以题目转化为： \(n\) 以内至少有 \(k\) 个非完全平方数。
正难则反，我们只需反求：\(n\) 以内至少有 \(n-k\) 个非完全平方数。第 \(n-k\) 个非完全平方数即 \((n-k)^2\) ,可得方程：\(n<=(n-k)^2\) ,变形得：
\(f(n)=n-\sqrt{n}>=k\),
由于 \(f(n)\) 单调递增，所以问题变成了：找到最小的 \(n\) ，使得 \(f(n)>=k\) 成立，二分即可；
注意：使用sqrtl代替sqrt，精度需求高；

AC代码

    #include<bits/stdc++.h>
    #define endl '\n'
    #define ll long long
    #define pb push_back
    #define bs bitset
    #define fast() ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr)
    using namespace std;

    typedef pair<char,int> PCI;
    typedef pair<int,int> PII;
    typedef pair<long long, long long> PLL;
    typedef priority_queue<int> PQ;
    const int N = 2e5+10, MAX = 1e9, INF = -1e9;

    ll k;

    void solve(){
        cin>>k;
        ll l=1;ll r=2e18;
        while(l<r){
            ll mid=(l+r)>>1;
            if(mid-(int)sqrtl(mid)>=k)r=mid;
            else l=mid+1;
            //cout<<l<<" "<<r<<" "<<mid<<" "<<mid-sqrt(mid)<<endl;
        }
        cout<<l<<endl;
    }

    int main()
    {
        fast();
        
        int t=1;
        cin>>t;
        while(t--){
            solve();
        }
        return 0;
    }