哈希优化策略
在算法题中，我们通常通过线性查找替换为哈希查找来降低算法的时间复杂度。我们借助一个算法题来加深理解。
Question
给定一个整数数组nums和一个目标元素target，请在数组中搜索“和”为target的两个元素，并返回他们的数组索引。返回任意一个即可。
线性查找： 以时间换空间
考虑直接遍历所有可能的组合。如图所示，我们开启一个两层循环，在每轮中判断两个整数的和是否为target，若是，则返回它们的索引。
/* 方法一：暴力枚举 */
vector<int> twoSumBruteForce(vector<int> &nums, int target) {
int size = nums.size();
for(int i = 0; i < size; ++i) {
for(int j = i + 1; j < size; ++j) {
if(nums[i] + nums[j] == target)
return {i,j};
}
}
return {};
}
此方法的时间复杂度为O(n2)，空间复杂度为O(1)，在大数据量下非常耗时。
哈希查找： 以空间换时间
考虑借助一个哈希表，键值对分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组，每轮执行如下步骤：
- 判断数组
target - nums[i]是否在哈希表中，若是，则直接返回这两个元素的索引。 - 将键值对
nums[i]和索引i添加进哈希表。
/* 方法二：辅助哈希表 */
vector<int> twoSumHashTable(vector<int> &nums, int target) {
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
unordered_map<int,int> numsMap;
for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
if(numsMap.find(target - nums[i]) != numsMap.end())
return {numsMap[target - nums[i]],i};
numsMap.emplace(make_pair(nums[i], i));
}
return {};
}
此方法通过哈希查找将时间复杂度从O(n2)降至O(n)，大幅度提升运行效率。
由于需要维护一个额外的哈希表，因此空间复杂度为O(n)。尽管如此，该方法的整体时空效率更为均衡，因此它是本题的最优解。
重识搜索算法
搜索算法（search algorithm）用于在数据结构（例如数组、链表、树或图）中搜索一个或一组满足特定条件的元素。
搜索算法可根据实现思路分为以下两类。
- 通过遍历数据结构来定位目标元素，例如数组、链表、树和图的遍历等。
- 利用数据组织结构或数据包含的先验信息，实现高效查找，例如二分查找、哈希查找和二叉搜索树查找等。
暴力搜索
暴力搜索通过遍历数据结构的每个元素来定位目标元素。
- “线性搜索”适用于数组和链表等线性数据结构。它从数据结构的一端开始，逐个访问元素，直到找到目标元素或到达另一端仍没有找到目标元素为止。
- “广度优先搜索”和“深度优先搜索”是图和树的两种遍历策略。广度优先搜索从初始节点开始逐层搜索，由近及远地访问各个节点。深度优先搜索从初始节点开始，沿着一条路径走到头，在回溯并尝试其他路径，直到遍历完整个数据结构。
暴力搜索的优点是简单且通用性好，无须对数据做预处理和借助额外的数据结构。
但是此类算法的时间复杂度为O(n)，其中n为元素数量，因此在数据量较大情况下，性能较差。
自适应搜索
自适应搜索利用数据的特有属性（例如有序性）来优化搜索过程，从而更高效地定位目标元素。
- “二分查找”利用数据的有序性实现高效查找，仅适用于数组。
- “哈希查找”利用哈希表将搜索数据和目标数据建立为键值对映射，从而实现查询操作。
- “树查找”在特定的树结构（例如二叉搜索树）中，基于比较节点值来快速排除节点，从而定位目标元素。
此类算法的优点是效率高，时间复杂度可达到O(logn)甚至O(1)。
在使用这些算法时往往需要对数据进行预处理。例如，二分查找需要预先对数组进行排序，哈希查找和树查找都需要借助额外的数据结构，维护这些数据结构也需要额外的时间和空间开销。
自适应搜索算法通常被称为查找算法，主要用于在特定数据结构中快速检索目标元素。
搜索方法选取
给定大小为n的一组数据，我们可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法从中搜索目标元素。各个方法的工作原理如下图：
上述几种方法的操作效率与特性如下表所示：
| 线性搜索 | 二分查找 | 树查找 | 哈希查找 | |
|---|---|---|---|---|
| 查找元素 | O(n) | O(logn) | O(logn) | O(1) |
| 插入元素 | O(1) | O(n) | O(logn) | O(1) |
| 删除元素 | O(n) | O(n) | O(logn) | O(1) |
| 额外空间 | O(1) | O(1) | O(n) | O(n) |
| 数据预处理 | / | 排序O(nlogn) | 建树O(nlogn) | 建哈希表O(n) |
| 数据是否有序 | 无序 | 有序 | 有序 | 无序 |
搜索算法的选择还取决于数据体量、搜索性能要求、数据查询与更新频率等。
线性搜索
- 通用性较好，无须任何数据预处理操作。加入我们仅需查询一次数据，那么其他三种方法的数据预处理的时间比线性搜索的时间还要更长。
- 适用于体量较小的数据，此情况下时间复杂度对效率影响较小。
- 适用与数据更新频率较高的场景，因为该方法不需要对数据进行任何额外维护。
二分查找
- 适用于大数据量的情况，效率表现稳定，最差时间复杂度为O(logn)。
- 数据量不能过大，因为存储数组需要连续的内存空间。
- 不适用与高频增删数据的场景，因为维护有序数组的开销较大。
哈希查找
- 适合对查询性能要求很高的场景，平均时间复杂度为O(1)。
- 不适合需要有序数据或范围查找的场景，因为哈希表无法维护数据的有序性。
- 对哈希函数和哈希冲突处理策略的依赖性较高，具有较大的性能劣化风险。
- 不适合数据量过大的情况，因为哈希表需要额外空间来最大程度地减少冲突，从而提供良好的查询性能。
树查找
- 适用于海量数据，因为树节点在内存中是分散存储的。
- 适合需要维护有序数据或范围查找的场景。
- 在持续增删节点过程中，二叉搜索树可能产生倾斜，时间复杂度劣化至O(n)。
- 若使用AVL树或红黑树，则各项操作可在O(logn)效率下稳定运行 ，但维护树平衡的操作会增加额外的开销。