莫队算法

普通莫队

形式：给定一个长度为 \(n\) 的序列，有 \(q\) 次询问，每次询问给出 \(l,r\)，问区间 \([l,r]\) 的答案。

要求：询问必须离线，且从区间 \([l,r]\) 转移到区间 \([l+1,r],[l-1,r],[l,r+1],[l,r-1]\) 的时间复杂度是 \(O(1)\) 的。

做法：关于 \(l\) 对询问分块，块长为 \(T\)，每个块内对 \(r\) 从小到大排序。按照一个个块的顺序处理询问，移动左右端点从一个询问转移到另一个询问，移动时维护区间答案。

时间复杂度：块内左端点每次跳 \(O(T)\)，一共有 \(q\) 个左端点，一个块右端点会移动 \(O(n)\)，一共有 \(\frac{n}{T}\) 个块，不同块间转移是 \(O(n)\) 的，一共有 \(\frac{n}{T}\) 个块。总时间复杂度是 \(O(\frac{n^2}{T}+qT)\)，根据基本不等式，时间复杂度 \(\le \sqrt{n^2q}=n\sqrt{q}\)，块长 \(T\) 取 \(\frac{n}{\sqrt{q}}\)。时间复杂度 \(O(n\sqrt{q})\)。

例题：P1494 [国家集训队] 小 Z 的袜子

奇偶优化：奇数块 \(r\) 从小到大排序，偶数块 \(r\) 从大到小排序。

带修改莫队

问题：给定一个长度为 \(n\) 的序列，有 \(q\) 次询问，每次询问有两种：

1. 给出 \(l,r\)，问区间 \([l,r]\) 的答案。
2. 把 \(a_i\) 改成 \(x\)。

用数据结构预处理序列上每个点每个时间是什么。显然用 mutiset 是好做的。

把每次询问答案看作三维数对 \((l,r,t)\)。离线做莫队。

对 \(l\) 分块，块长为 \(T\)，每个块内对 \(r\) 分块，块长为 \(T\)，按 \(T\) 从小到大排序。每个小块 \(t\) 最多移动 \(q\) 次，一共 \(\frac{n^2}{T^2}\) 个小块。每个小块内一次转移 \(l,r\) 最多移动 \(T\) 次，一共 \(q\) 次转移。不同小块间转移一次 \(r\) 移动 \(T\) 次，一共 \(\frac{n^2}{T^2}\) 个小块。不同大块间转移一次 \(l\) 移动 \(T\) 次，一共 \(\frac{n}{T}\) 个大块。总时间复杂度是 \(O(\frac{n^2q}{T^2}+qT+\frac{n^2}{T}+n)=O(\frac{n^2q}{T^2}+qT+n)\)。

一般来讲，\(T\) 取 \(n^{\frac{2}{3}}\) 时复杂度最优。总复杂度为 \(O(qn^{\frac{2}{3}})\)。

回滚莫队

问题：给定一个长度为 \(n\) 的序列，有 \(q\) 次询问，每次询问给出 \(l,r\)，问区间 \([l,r]\) 的最大/最小/mex 值。

例如求区间 mex 值，我们发现区间减少一个数答案是好维护的，但是增加一个数答案不好维护。

于是还是按照 \(l\) 分块，块长为 \(T\)，每块的询问左端点满足在区间 \([l_{min},l_{max}]\)。

我们在每个块中按 \(r\) 从大到小排序，预处理所有区间 \([l_{min},n]\) 的答案，对于每个询问，我们只需要从 \(n\) 开始不断向左移动右端点，移完存档一下目前的答案，然后向右移动左端点，求出询问的答案。之后回到存档，算下一个答案即可。

时间复杂度分析和普通莫队一样。