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算法与数据结构——堆

时间:2024-09-09 10:49:48浏览次数:8  
标签:maxHeap 堆顶 堆化 元素 算法 二叉树 数据结构 节点

堆(heap)是一种满足特定条件的完全二叉树,主要分为两种类型:

  • 小顶堆(min heap):任意节点的值 ≤ 其子节点的值
  • 大顶堆(max heap):任意节点的值 ≥ 其子节点的值

堆作为完全二叉树的一个特例,具有以下特性:

  • 最底层节点靠左填充,其他层的节点都被填满
  • 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”,将最底层最靠右的节点称为“堆底”。
  • 对于大顶堆(小顶堆),堆顶元素(根节点)的值是最大(最小)的。

堆的常用操作

需要指出的是,许多编程语言提供的是优先队列(priority queue),这是一种抽象的数据结构,定义为具有优先级排序的队列。

实际上,堆通常用于实现优先队列,大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看,
我们可以将“优先队列”和“堆”看做等价的数据结构。因此,我们对两者不做特别区分,统一称作“堆”。

堆的操作效率表如下:

方法名 描述 时间复杂度
push() 元素入堆 O(logn)
pop() 堆顶元素出堆 O(logn)
peek() 访问堆顶元素(对于大/小顶堆分别为最大/小值) O(1)
size() 获取堆的元素数量 O(1)
isEmpty() 判断堆是否为空 O(1)

在实际应用中,我们可以直接使用编程语言提供的堆类(或优先队列类)
类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”,我们可以通过设置一个flag或修改Comparator实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。

	/*初始化堆*/
	// 初始化小顶堆
	//priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
	// 初始化大顶堆
	priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;

	/*元素入堆*/
	maxHeap.push(1);
	maxHeap.push(3);
	maxHeap.push(2);
	maxHeap.push(5);
	maxHeap.push(4);

	/*获取堆顶元素*/
	int peek = maxHeap.top(); // 5
	cout << peek << endl;

	/*堆顶元素出堆*/
	// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
	maxHeap.pop(); // 5
	maxHeap.pop(); // 4
	maxHeap.pop(); // 3
	maxHeap.pop(); // 2
	maxHeap.pop(); // 1

	/*获取堆大小*/
	int size = maxHeap.size();
	cout << size << endl;

	/*判断堆是否为空*/
	bool isEmpty = maxHeap.empty();
	cout << isEmpty <<  endl;

	/*输入列表并建堆*/
	vector<int> input{ 1, 3, 2, 5, 4 };
	priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
	cout << minHeap.top() << endl;

堆的实现

以下实现的是大顶堆,若要将其转换为小顶堆,只需将所有大小逻辑判断取反(如将 ≥ 替换为 ≤)。

堆的存储与表示

在前面使用数组来表示二叉树时发现,完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树,因此我们将采用数组来存储堆

当使用数组表示二叉树时,元素代表节点值,索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现。

如图所示,给定索引i,其左子节点的索引为2i+1,右子节点的索引为2i+2,父节点的索引为(i-1)/2(向下整除)。当索引越界时,表示空节点或节点不存在。

我们可以将索引映射公式封装成函数,方便后续使用:

	/*获取左子节点的索引*/
	int left(int i){
		return 2 * i + 1;
	}
	/*获取右子节点的索引*/
	int right(int i){
		return 2 * i + 2;
	}
	/*获取父节点的索引*/
	int parent(int i){
		return (i - 1) / 2; // 向下整除
	}

访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点,也就是列表的首个元素:

	/*访问堆顶元素*/
	int peak(){
		return maxHeap[0];
	}

元素入堆

给定元素val,我们首先将其添加到堆底。添加之后,由于val可能大于堆中其他元素,堆的成立条件可能已经被破坏,因此需要修复从插入节点到根节点路径上的各个节点,这个操作被称为堆化(heapify)

考虑从入堆节点开始,从底至顶执行堆化。比较插入节点与其父节点的值,如果插入节点更大,则将它们交换。然后继续执行此操作,从底至顶修复堆中的各个节点,直至越过根节点或无需交换的节点时结束。





设节点总数为n,则树的高度为O(logn)。由此可知,堆化操作的循环轮数最多O(logn),元素入堆操作的时间复杂度为O(logn)

	/*元素入堆*/
	void push(int val){
		// 添加节点
		maxHeap.push_back(val);
		// 从底至顶堆化
		siftUp(size() - 1);
	}

	/*从底至顶堆化*/
	void siftUp(int i){
		
		while (true){
			// 获取节点i父节点
			int p = parent(i);
			// 当越过根节点 或 节点无需修复时 结束堆化
			if (p < 0 || maxHeap[i] < maxHeap[p]){
				break;
			}
			// 交换两节点
			swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
			// 循环向上堆化
			i = p;
		}
	}

堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点,即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素,那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化,这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为尽量减少元素索引的变动,我们采用以下操作步骤:

  1. 交换堆顶元素与堆底元素(交换根节点与最右叶节点)。
  2. 交换完成后,将堆底从列表中删除(注意,由于已经交换,因此实际上是删除原来的堆顶元素)。
  3. 从根节点开始,从顶至底执行堆化

“从顶至底堆化”的操作与“从底至顶堆化”相反,我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较,将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作,直到越过叶节点或遇到无需交换的节点时结束。




与元素入堆操作相似,堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为O(logn)。

	/*元素出堆*/
	void pop(){
		// 判空处理
		if (isEmpty()){
			cout << "堆为空" << endl;
			return;
		}
		// 交换堆顶和堆底最右端的元素
		swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
		// 移除堆底最右端的元素
		maxHeap.pop_back();
		/*从顶至底堆化*/
		siftDown(0);
	}

	/*从顶至底堆化*/
	void siftDown(int i){
		while (true){
			// 判断 i,l,r 中值最大的节点,记为 ma
			int l = left(i), r = right(i), ma = i;
			if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
				ma = l;
			if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
				ma = r;
			if (ma == i)
				break;
			swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
			// 循环向下堆化
			i = ma;
		}
	}

堆的常见应用

  • 优先队列:堆通常作为实现优先队列的首选数据结构,其入队和出队操作的时间复杂度均为O(logn),而建队操作为O(n),这些操作都非常高效
  • 堆排序:给定一组数据,我们可以用它们建立一个堆,然后不断地执行元素出堆操作,从而得到有序数据。
  • 获取最大的k个元素:这是一个经典的算法问题,同时也是一种典型应用,例如选择热度前10的新闻作为微博热搜,选取销量前10的商品等。

建堆操作

在某些情况下,我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆,这个过程被称为“建堆操作”。

借助入堆操作实现

我们首先创建一个空堆,然后遍历列表,依次对每个元素执行“入堆操作”,即先将元素添加至堆的尾部,再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆,堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的,因此堆是“自上而下”构建的。设元素数量为n,每个元素的入堆操作使用O(logn)时间,因此该建堆方法的时间复杂度为O(nlog)。

通过遍历堆化实现

实际上,我们可以实现一种更为高效的建堆方法,分为两步:

  • 将列表所有元素原封不动地添加到堆中,此时堆的性质尚未得到满足。
  • 倒序遍历堆(层序遍历的倒序),依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后,以该节点为根节点的子堆就形成了一个合法的子堆。由于是倒序遍历,因此堆事“自下而上”构建的。

之所以选择倒序遍历,是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆,这样堆化当前节点才是有效的。

	/*构造方法 , 根据输入列表建堆*/
	MaxHeap(vector<int> nums){
		// 将列表元素原封不动地添加进堆
		maxHeap = nums;
		// 堆化除叶节点外的所有节点
		for (int i = size() - 1; i >= 0; i--){
			siftDown(i);
		}
	}

复杂度分析

  • 假设完全二叉树的节点数量是n,则叶节点数量为(n + 1)/2,其中/为向下整除。因此需要堆化的节点数量为(n - 1)/2。
  • 在从顶至底堆化过程中,每个节点最多堆化到叶节点,因此最大迭代次数为二叉树高度logn。

将上述两者相乘,可得建堆过程的时间复杂度为O(nlogn)。但这个估算结果并不准确,因为没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质

接下来进行更为准确的计算,为降低计算难度,假设给定一个节点数量为n、高度为h 的完美二叉树。

如图所示,节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离,而该距离正是“节点高度”。因此,我们可以对各层的“节点数量 * 节点高度”求和,得到所有节点的堆化迭代次数的总和

借助中学知识,先将T(h)乘以2,得到:

利用错位相减,即可得:

观察发现T(h)是一个等比数列,可直接使用求和公式得到时间复杂度为:

进一步,高度为h的完美二叉树的节点数量为 n = 2^h+1 - 1,易得复杂度为O(2^h) = O(n)。以上推算表明,输入列表并建堆的时间复杂度为O(n),非常高效

标签:maxHeap,堆顶,堆化,元素,算法,二叉树,数据结构,节点
From: https://www.cnblogs.com/1873cy/p/18400183

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