python实现数字签名算法 (DSA)

目录

• • • 数字签名算法 (DSA) 介绍
    • DSA 的数学基础
    • DSA 签名生成和验证流程
    • Python 面向对象实现 DSA 签名和验证
    • 代码解释
    • 场景应用：电子合同签署
    • 总结

数字签名算法 (DSA) 介绍

数字签名算法 (Digital Signature Algorithm, DSA) 是一种基于公钥加密的数字签名标准。它被广泛用于确保数据的完整性、认证消息的来源以及验证消息的身份真实性。DSA于1991年由美国国家标准与技术研究院 (NIST) 提出，并成为数字签名标准 (DSS) 的一部分。

DSA 的数学基础

DSA 基于离散对数问题，其安全性依赖于大素数域上求解离散对数的困难性。其核心思想是生成一个数字签名来验证消息的来源和完整性。DSA 主要依赖以下几个数学概念：

1. 素数和模运算：DSA的计算是在一个大素数p的有限域内进行的。通常还有一个次大素数q，q是p-1的一个因子。

2. 离散对数：基于离散对数问题的困难性，给定y = g^x mod p，已知y和g的情况下，计算x是非常困难的。

3. 哈希函数：DSA使用安全哈希算法（如SHA-1或SHA-256）来生成消息的哈希值。这个哈希值用于签名生成和验证过程中。

DSA 签名生成和验证流程

DSA 的数字签名过程包括三个主要步骤：密钥生成、签名生成和签名验证。

1. 密钥生成：

   • 选择一个大素数p和一个次大素数q，使得q是p-1的因子。
   • 选择一个基数g，使得g^q mod p = 1。
   • 选择一个随机的私钥x，其中0 < x < q。
   • 计算公钥y = g^x mod p。

2. 签名生成：

   • 对消息M计算其哈希值H(M)。
   • 选择一个随机数k，其中0 < k < q。
   • 计算r = (g^k mod p) mod q。
   • 计算s = (k^(-1) * (H(M) + xr)) mod q。
   • 签名由(r, s)组成。

3. 签名验证：

   • 验证消息的哈希值H(M)。
   • 计算w = s^(-1) mod q。
   • 计算u1 = (H(M) * w) mod q和u2 = (r * w) mod q。
   • 计算v = ((g^u1 * y^u2) mod p) mod q。
   • 如果v == r，则签名有效，否则无效。

Python 面向对象实现 DSA 签名和验证

下面是 Python 的面向对象实现，模拟 DSA 签名和验证的过程。我们实现了密钥生成、签名生成和签名验证方法。

import hashlib
import random

class DSA:
    def __init__(self, p, q, g):
        """
        初始化DSA参数
        :param p: 大素数p
        :param q: 素数q (p-1的一个因子)
        :param g: 基数g (g^q mod p = 1)
        """
        self.p = p
        self.q = q
        self.g = g
        self.private_key = None
        self.public_key = None

    def generate_keys(self):
        """生成DSA密钥对 (私钥, 公钥)"""
        self.private_key = random.randint(1, self.q - 1)  # 私钥 x
        self.public_key = pow(self.g, self.private_key, self.p)  # 公钥 y = g^x mod p
        return self.private_key, self.public_key

    def sign(self, message):
        """对消息进行签名"""
        if self.private_key is None:
            raise ValueError("私钥未生成！")
        
        # 计算消息的哈希值
        hash_value = int(hashlib.sha256(message.encode()).hexdigest(), 16)
        
        while True:
            k = random.randint(1, self.q - 1)  # 选择随机数k
            r = pow(self.g, k, self.p) % self.q  # 计算r = (g^k mod p) mod q
            
            if r == 0:
                continue
            
            k_inv = pow(k, -1, self.q)  # 计算k的逆元
            s = (k_inv * (hash_value + self.private_key * r)) % self.q  # 计算s
            
            if s != 0:
                break
        
        return (r, s)

    def verify(self, message, signature):
        """验证签名"""
        r, s = signature
        if r <= 0 or r >= self.q or s <= 0 or s >= self.q:
            return False
        
        # 计算消息的哈希值
        hash_value = int(hashlib.sha256(message.encode()).hexdigest(), 16)
        
        w = pow(s, -1, self.q)  # 计算w = s^(-1) mod q
        u1 = (hash_value * w) % self.q  # 计算u1 = (H(M) * w) mod q
        u2 = (r * w) % self.q  # 计算u2 = (r * w) mod q
        
        v = ((pow(self.g, u1, self.p) * pow(self.public_key, u2, self.p)) % self.p) % self.q  # 计算v
        
        return v == r

# 设置DSA的参数
p = 0xA0DC65FFCA79988D900FC52C6C569C21D2A801A1AEB0BE87978DA6DFE24D2060E18B6E1A3C3EF6B6DC70B841BAC3EAA85E0C1896FFB5C3DAA63B79E31B0EED79
q = 0xF7E1A085D69B3DDE00E1DBD1CBF52E3705
g = 0x678471B27A9CF44E431D7C2A23A6C0B7A2B7CCF014A54646DAD0B38C6CCB08A29F2A924BE40A99A51FEAEC9802BCFDECC7E6D3E9EC9D6D79123D91B2AEF9C722

# 创建DSA对象
dsa = DSA(p, q, g)

# 生成密钥对
private_key, public_key = dsa.generate_keys()
print(f"私钥: {private_key}")
print(f"公钥: {public_key}")

# 签名
message = "Hello, DSA!"
signature = dsa.sign(message)
print(f"签名: {signature}")

# 验证
is_valid = dsa.verify(message, signature)
print(f"签名验证结果: {is_valid}")

代码解释

1. DSA 类：封装了 DSA 的密钥生成、签名生成和签名验证等操作。

2. 密钥生成：通过随机选择一个私钥，并使用模幂计算生成公钥。

3. 签名生成：使用随机数k生成签名(r, s)。

4. 签名验证：通过计算哈希值和验证公式，验证签名的有效性。

场景应用：电子合同签署

假设在一个电子合同系统中，用户需要签署合同并确保合同内容的完整性和真实性。DSA 可以用于生成数字签名，以便接收方可以验证合同是否由正确的签署人签署，并且在传输过程中合同内容没有被篡改。

总结

本文介绍了数字签名算法 (DSA) 的数学基础、签名生成和验证流程，并使用 Python 面向对象的思想完整实现了 DSA 签名和验证过程。DSA 在电子合同、数字证书等领域有着广泛的应用，通过这篇文章和代码实现，相信读者能够更好地理解 DSA 算法的原理及其应用。