《数据结构》最短路径Dijkstra算法

                                                              最短路径Dijkstra算法分析

                                                          * 图的存储方式为邻接表*

符号解释： 

P(A)：以当前生长点到A的最短路径

D(A)：P(A)路径长度的权值和

过程解释：

1.以F为生长源点，与F的邻接点有A，B，C。

2.其中FC的路径长度最短，以C为新的生长点。

C的临接点有B，D，E：

（1）F直接到B的路径长度为24，F经过C到B的路径长度为27，直接到B的路径长度短，不作路径更新。同理，

（2）F到D的路径长度更新为10+6=16。

（3）F到E的路径长度更新为10+52=62。

3.其中FCD的路径长度最短，以D为新的生长点。

D的邻接点有F，显然成环回到起点，不做更新。

4.其中FB的路径长度最短，以B为新生长点，B的邻接点有A，E：

（1）从F经B到A的路径长度为24+56=80，显然小于直接从F到A的路径长度。故做更新。

（2）FBE路径长度为24+26=50<62(FCE)。故做更新。

5.其中FBE的路径最短，以E为新生长点，E的邻接点为A。

FBEA的路径长度为24+26+10=60<80(FBA)。故做更新。

至此，所有非源点的最短路径找到，过程结束。

简易代码描述：

void shortpath_dijkstra(L[M], int n, int s) // L[M]，n顶点数，s源点号
{
	// 设置待定路径初值
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		L[i].path = L[s].name; // 初始化路径为源点
		L[i].dist = MAX;       // 初始化距离为最大值
		L[i].mark = 0;        // 初始化标记为未访问
	}
	
	// 设置 s 为源点
	L[s].mark = 1;
	L[s].dist = 0;
	
	// 更新源点的直接邻接边的距离
	ArcNode *p = L[s].firstarc;
	while (p != NULL)
	{
		int w = p->adjvex;
		L[w].dist = p->cost;
		L[w].path = L[s].name + L[w].name; // 更新路径
		p = p->next;
	}
	
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) // n - 1次 
	{
		int k = -1;
		int d = MAX;
		
		// 找到未标记的最近顶点
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			if (L[j].mark == 0 && L[j].dist < d) // 修正索引
			{
				k = j;
				d = L[j].dist;
			}
		}
		
		if (k == -1) break; // 如果没有找到可访问的节点，提前退出。
		
		L[k].mark = 1; // 标记为已访问
		
		// 更新与 k 相连的未标记顶点的距离和路径
		p = L[k].firstarc;
		while (p != NULL)
		{
			int w = p->adjvex;
			if (L[w].mark == 0 && L[w].dist > L[k].dist + p->cost)
			{
				L[w].path = L[k].path + L[w].name; // 更新路径
				L[w].dist = L[k].dist + p->cost; // 更新距离
			}
			p = p->next;
		}
	}
}

代码分析

1. 初始化:

   • 代码开始时对每个顶点的 path、dist 和 mark 进行了初始化。
   • path 存储了从源点到该顶点的路径，dist 存储了源点到该顶点的距离，mark 用于标记该顶点是否已被访问。

2. 设置源点:

   • 将源点的 mark 设置为 1，表示已访问，并将其 dist 设置为 0。

3. 更新邻接顶点的距离:

   • 使用 p 遍历源点的所有邻接边，更新相邻顶点的距离。

4. 主循环:

   • 在主循环中，找到未被访问的顶点中距离最小的一个顶点 k，并将其标记为已访问。
   • 然后，更新从 k 到其邻接顶点的最短路径。

本文参考陈卫卫老师课程。