堆排序
堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。堆排序可以说是一种利用堆的概念来排序的选择排序。分为两种方法：
- 大顶堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于升序排列；
- 小顶堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于降序排列；
堆排序的平均时间复杂度为 Ο(nlogn)。
算法步骤
- 创建一个堆 H[0……n-1]；
- 把堆首（最大值）和堆尾互换；
- 把堆的尺寸缩小 1，并调用 shift_down(0)，目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置；
- 重复步骤 2，直到堆的尺寸为 1。
代码实现
//原理
/*
1、建堆：向下调整算法从下往上建堆
2、选数、向下重新调整堆
*/
/*选择排序*/
static void Swap(int *p1, int *p2)
{
int tmp = 0;
tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void AdjustDown(int *a, int size, int parent) //小堆
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < size)
{
if (child + 1 < size &&a[child] < a[child + 1]) //小于选出大的 ， 大于选出小的
{
child++;
}
if (a[child] > a[parent])//小堆大于最小孩子就交换，
{ //大堆小于最大孩子就交换
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapSort(int *a, int size) //升序建大堆，降序建小堆
{
/* ---- 向下调整算法建堆 ----*/ //优点，少去最后一层，也是最多的一层，
//时间复杂度O(n)
int parent = (size - 1 - 1) / 2;
while (parent >= 0)
{
AdjustDown(a, size, parent);
parent--;
}
/* ---- 选数 ----*/
//时间复杂度O(n*logN),好像是说n个数都要高度次调整
int end = size - 1;//不改变原数据
while (end>0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);//选数,选完就少一个
end--;
AdjustDown(a, end, 0);//
}
}
时间复杂度分析
/*
向下调整算法建堆时间复杂度计算
假设满二叉树树高度h
各层的节点数为
第一层 2 ^ 0 ------向下调整h-1次
第二层 2 ^ 1 ------向下调整h-2次
第三层 2 ^ 2 ------向下调整h-3次
... ...
第h - 1层 2 ^ (h - 2) ------向下调整1次
第h层 2 ^ (h - 1)
向下调整算法建堆是从最小父亲开始，即第h-1层的最后一个节点 parent = (size-1-1)/2
最坏情况下所有节点需要执行的次数为
f(h) = 2^(h-2)*1 + 2^(h-3)*2 + ... + 2^1*(h-2) + 2^0*(h-1) 错位相减
2*f(h) = 2^(h-1)*1 + 2^(h-2)*2 + ... + 2^2*(h-2) + 2^1*(h-1)
作差、合并得f(h) = 2^h -h-1
其中 满二叉树节点数N = 2^h-1，即h = log(N+1) 代入得
f(N) = N - 1 - log(N+1) ， 舍去logN(数量级)
所以O(n) = n
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而向上调整算法建堆时间复杂度比较吃亏，见图
假设满二叉树树高度h
各层的节点数为
第一层 2 ^ 0
第二层 2 ^ 1 ------向上调整1次
第三层 2 ^ 2 ------向上调整2次
... ...
第h - 1层 2 ^ (h - 2) ------向上调整h-2次
第h层 2 ^ (h - 1) ------向上调整h-1次
计算方法还是错位相减，由图显然可发现向上调整算法执行次数数量级明显提高
不再计算
O(n) = n*logN
总结：向下调整算法跳过最下层最多节点层，且从下层开始节点多执行次数少。快
向上调整算法从上开始从节点少往节点多执行次数成倍增加，前面的加起来都没最后一层多，慢
*/