高斯消元
用来求解方程组
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
…
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
⋯
+
a
n
n
x
n
=
b
n
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n = b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n = b_2\\ \dots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \dots + a_{nn} x_n = b_n\\
a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn
输入是
n
×
(
n
−
1
)
n \times (n -1 )
n×(n−1)的矩阵。
对方程组进行以下三种初等行列变换后，方程的解不变：
- 把某一行乘以一个非零的数
- 交换某2行
- 把某行的若干倍加到另一行上去
因此，对任意一个方程组，可以把它变成倒三角形式：
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
…
a
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
x
n
−
1
+
a
(
n
−
1
)
n
x
n
=
b
n
−
1
a
n
n
x
n
=
b
n
a_{11}x_1 + a_{12}x_2+\dots +a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{22}x_2 + \dots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \dots \\ a_{(n-1)(n-1)}x_{n-1} +a_{(n-1)n}x_{n} = b_{n-1}\\ a_{nn}x_n = b_n
a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a22x2+⋯+a2nxn=b2…a(n−1)(n−1)xn−1+a(n−1)nxn=bn−1annxn=bn
有三种情况：
- 完美阶梯型——唯一解
- 0 = 非零 ———无解
- 0 = 0 ——无穷多组解
高斯消元步骤：
枚举每一列c：
- 找到绝对值最大的一行
- 将该行换到最上面
- 将该行第一个数变成1
- 将下面所有行的第c列消成0
题目
详见：https://www.acwing.com/problem/content/description/885/
输入一个包含 n 个方程 n 个未知数的线性方程组。
方程组中的系数为实数。
求解这个方程组。
下图为一个包含 m 个方程 n 个未知数的线性方程组示例：
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含 n+1 个实数，表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。
输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个未知数的解，结果保留两位小数。
注意：本题有 SPJ，当输出结果为 0.00 时，输出 -0.00 也会判对。在数学中，一般没有正零或负零的概念，所以严格来说应当输出 0.00，但是考虑到本题作为一道模板题，考察点并不在于此，在此处卡住大多同学的代码没有太大意义，故增加 SPJ，对输出 -0.00 的代码也予以判对。
如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。
如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。
数据范围
1≤n≤100,
所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过 100。
输入样例：
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
输出样例：
1.00
-2.00
3.00
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-6;
int n;
double a[N][N];
int gauss() {
int c, r;
for(c = 0, r = 0; c < n; c ++ ) {
// 找到绝对值最大的一行 t
int t = r;
for(int i = r; i < n; i ++ ) {
if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) {
t = i;
}
}
if(fabs(a[t][c]) < eps) continue; //如果第t行为0，结束
//将该行换到最上面
for(int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);
//将该行的第c位设为1（前面都为0）
for(int i = n; i >= c; i --) a[r][i] /= a[r][c];
//将下面所有行的第c列消成0
//也就是从r + 1行开始，对于第i行，第i行第c个位置a[i][c]如果不为0的话，就要消成0
// a[i][c]消成0 ： a[i][c] -= a[r][c] * a[i][c] a[r][c]为1
// 那么其他所有列： a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c]
for(int i = r + 1; i < n; i ++ ) {
if(fabs(a[i][c]) > eps) {
for(int j = n; j >= c; j -- ) {
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
}
}
}
r ++;
}
if(r < n) {
for(int i = r; i < n; i ++ ) {
if(fabs(a[i][n]) > eps)
return 2; //无解
}
return 1; //有无穷多组解
}
//求解唯一解
//从第n - 1 行开始往上，遍历每一行
//对于第i行，它的解是a[i][n]的值
for(int i = n - 1; i >= 0; i -- ) {
for(int j = i + 1; j < n; j ++ ) {
a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
}
}
return 0; //有唯一解
}
int main() {
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i ++ ) {
for(int j = 0; j <= n; j ++ ) {
cin >> a[i][j];
}
}
int t = gauss();
if(t == 0) {
for(int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.2lf\n", a[i][n]);
}
else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
else puts("No solution");
return 0;
}