计数类DP——AcWing 900. 整数划分

计数类DP

定义

计数类DP主要是通过动态规划的方法来计算满足特定条件的方案数、组合数等数量相关的问题。

运用情况

1. 需要计算不同排列、组合或情况的数量。
2. 问题具有明显的阶段性，且每个阶段的选择会对后续阶段产生影响。
3. 可以通过逐步构建较小规模问题的解来推导出大规模问题的解。

注意事项

1. 状态定义要准确合理，确保能够涵盖所有需要计数的情况。
2. 边界条件的处理要小心，避免出现错误。
3. 注意状态转移的正确性和完整性，不能遗漏某些可能的情况。
4. 避免重复计算，确保 DP 过程的高效性。

解题思路

1. 确定状态：仔细分析问题，找到合适的状态表示，通常状态包含问题规模、已有的某些特征等。
2. 分析状态转移：找出不同状态之间的联系，即如何从一个状态推导出下一个状态的方案数。
3. 初始化：对边界状态或初始状态进行正确的赋值。
4. 递推求解：按照状态转移方程逐步计算出更大规模问题的解。
5. 得到最终结果：根据问题要求，从最终状态中获取需要的计数结果。

例如，计算从一个起点到一个终点有多少种不同走法的问题，就可以用计数类 DP 来解决，状态可以是当前位置，转移就是根据不同的移动规则来更新方案数。通过合理定义状态和转移方程，就可以准确地计算出总的方案数。

AcWing 900. 整数划分

题目描述

900. 整数划分 - AcWing题库

运行代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
int dp[1001][1001];
int divide(int n, int m) {
    if (n == 0) return 1;
    if (m == 0) return 0;
    if (dp[n][m]!= -1) return dp[n][m];
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= min(n, m); i++) {
        res = (res + divide(n - i, i)) % MOD;
    }
    dp[n][m] = res;
    return res;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    cout << divide(n, n) << endl;
    return 0;
}

代码思路

• dp[n][m] 中的 n 表示要划分的整数，m 表示当前划分中允许的最大整数。
• divide 函数通过递归的方式计算划分方法的数量。如果 n 为 0，则表示一种划分成功，返回 1；如果 m 为 0 则返回 0。然后通过循环从 0 到 min(n, m) 逐步尝试将当前的数拆分成当前最大数和剩余部分，对剩余部分继续递归调用，将所有结果累加并取模更新状态，最后将计算结果存储在 dp 数组中。在 main 函数中输入 n 后，通过调用 divide(n, n) 并输出结果。

改进思路

• 可以添加一些注释提高代码的可读性。
• 可以考虑使用更高效的数据结构或算法来优化性能，虽然在这个规模下可能不太明显。
• 可以对代码结构进行一些整理和优化，使逻辑更加清晰。

其它代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int f[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = i; j <= n; j ++ )
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}

代码思路

1. 初始化：首先设置f[0] = 1，表示选择0个元素的组合只有1种情况（什么都不选）。

2. 双重循环：

   • 外层循环变量i从1到n，代表当前考虑的是将多少个元素作为一个整体（从1开始是因为至少选1个元素才有组合变化）。
   • 内层循环变量j从i到n，表示在考虑将i个元素作为整体时，可以放置的位置（或理解为累计到目前为止的选择总数）。
   • 在内循环中，更新f[j]的值为f[j] + f[j - i]，并取模mod。这里的意思是，对于已经有j-i个元素的组合，我们再添加一个由i个相同元素组成的组合，形成一个新的组合。因此，到达某一总数j的组合数是之前所有小于j的组合数累加的结果，体现了组合数学中的加法原理。

3. 输出结果：经过上述计算后，f[n]即为从1到n的所有整数中选取任意个数的组合总数的和。