【数据结构与算法】二叉树的性质 详解

在二叉树的第i层上至多有多少个结点。

在二叉树的第 i 层上至多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点(i≥1)。

深度为 K的二叉树至多有多少个结点。

深度为 k 的二叉树上至多含 2 k − 1 2^k - 1 2k−1 个结点(k≥1)。

在一颗二叉树中, 其叶子结点数n0和度为二的结点数n2之间的关系。

对任何一棵二叉树T，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式： n 0 = n 2 + 1 n0 = n2 + 1 n0=n2+1。

有n个结点的完全二叉树的深度。

具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊ log ⁡ 2 n ⌋ + 1 \lfloor \log_2 n \rfloor + 1 ⌊log2​n⌋+1 或 ⌈ log ⁡ 2 ( n + 1 ) ⌉ \lceil \log_2 (n+1) \rceil ⌈log2​(n+1)⌉。

在二叉树的顺序存贮结构中如何求结点的双亲、孩子?

若对含 n n n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 1 1 至 n n n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i i i 的结点：

1. 若 i = 1 i=1 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲；否则，编号为 ⌊ i / 2 ⌋ \lfloor i/2 \rfloor ⌊i/2⌋ 的结点为其双亲结点；
2. 若 2 i > n 2i > n 2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2 i 2i 2i 的结点为其左孩子结点；
3. 若 2 i + 1 > n 2i+1 > n 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为 2 i + 1 2i+1 2i+1 的结点为其右孩子结点。

有n个结点的二叉树用二叉链表存贮时有多少个空链域。

使用二叉链表存储时，每个节点有两个链域（左孩子和右孩子）。在完全二叉树中，叶子节点的数量比非叶子节点的数量多1，所以空链域的数量是n+1。

用三叉链表存贮时有多少个空链域。

使用三叉链表存储时，每个节点有三个链域（左孩子、右孩子和父节点）。除了二叉链表的空链域之外，还有一个根节点的父节点链域是空的，所以空链域的数量是n+2。