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06 数组与广义表 | 数据结构与算法

时间:2022-10-18 19:58:40浏览次数:59  
标签:06 广义 int 元素 矩阵 算法 数组 数据结构 col

1. 数组

1. 数组的定义

  1. 数组:数组 是一组偶对(下标值,数据元素值)的集合。在数组中,对于一组有意义的下标,都存在一个与其对应的值。一维数组对应着一个下标值,二维数组对应着两个下标值
  2. 数组的特点
    1. 是由\(n(n>1)\)个具有相同数据类型的数据元素a1a2,...,an组成的有序序列,且该序列必须存储在一块地址连续的存储单元中
    2. 数组是一种随机存取结构,给定一组下标,就可以访问与其对应的数据元素
    3. 数组中的数据元素个数是 固定
  3. 直观的 \(n\) 维数组:以二维数组为例,将二维数组看成是一个定长的线性表,其每个元素又是一个定长的线性表

2. 数组的存储形式

  1. 存储形式:由于计算机的内存结构是一维的,因此用一维内存来表示多维数组,就必须按某种次序将数组元素排成一列序列,然后将这个线性序列存放在存储器中。由于对数组一般不做插入和删除操作,也就是说,数组一旦建立,结构中的元素个数和元素间的关系就不再发生变化。因此,一般都是采用顺序存储的方法来表示数组
  2. 存储方式
    1. 行优先顺序:将数组元素按行排列,第i+1个行向量紧接在第i个行向量后面。以二维数组为例,按行优先顺序存储的线性序列为:\(a_{11},a_{12},\dots,a_{1n},a_{21},a_{22},\dots,a_{2n},\dots,a_{m1},a_{m2},\dots,a_{mn}\)
    2. 列优先顺序:将数组元素按列向量排列,第j+1个列向量紧接在第j个列向量之后,A的m × n个元素按列优先顺序存储的线性序列为:\(a_{11},a_{21},\dots,a_{m1},a_{12},a_{22},\dots,a_{m2},\dots,a_{1n},a_{2n},\dots,a_{nm}\)

2. 矩阵的压缩存储

1. 对称矩阵

  1. 特点:\(a_{ij}=a_{ji}\),因此只需要对 \(\frac{n(n+1)}{2}\) 个元素进行存储image

  2. 对称矩阵元素\(a_{ij}\)保存在原数组中时的下标值k与(i,j)之间的对应关系

    1. \(k = \frac{i\times (i - 1)}{2}+j-1,i \ge j\)
    2. \(k = \frac{j\times (j - 1)}{2}+i - 1, i < j\)

2. 三角矩阵

  1. 特点:三角部分有数字,其余为0

    1. 下三角:image

    2. 上三角:image

  2. 对应关系

    1. 下三角:\(k = \frac{i\times (i - 1)}{2}+j-1,i \le j\)
    2. 上三角:\(k = \frac{i\times (i - 1)}{2}+j-1,i \ge j\)

3. 稀疏矩阵 的压缩

  1. 特点若一个m×n的矩阵含有t个非零元素,且 t 远远小于m×n,则我们将这个矩阵称为稀疏矩阵image

  2. 压缩形式:三元组表示法 (i, j, val) ,其中 ij分别表示行号列号,val 表示数值,且以行优先存放

  3. 稀疏矩阵 快速转置 算法

    1. 本质:记录要存放的位置
    2. 算法
      // the matrix is m * n size;
      // origin is Original tripletable
      // ans is the transposed matrix's tripletable
      /*
         stuct Triple{
            int i, j, val;
            Triple(int i, int j, int val):i(i),j(j),val(val){}
         };
      */
      void FastTransposeMatrix(vector<Triple> origin, vector<Triple> ans){
         vector<int> nums(n, 0); //统计矩阵每列非零元素的个数
         vector<int> pos(n, 0);  //统计矩阵每列第一个非零元素的位置
         for(int col = 0; col < n; ++col) 
            ++num[origin[col].j];
         pos[0] = 1;
         for(int col = 1; col < n; ++col)
            pos[col] = pos[col - 1] + num[col - 1];
         for(int idx = 0; idx < n; ++idx){
            int col = origin[idx].j;
            int nowPos = pos[col];
            ans[nowPos].i = origin[idx].j;
            ans[nowPos].j = origin[idx].i;
            ans[nowPos].val = origin[idx].val;
            ++pos[col]; //更新每列第一个元素的位置
         }
      }
      

3. 广义表

  1. 定义:广义表(\(List\),又称为列表):是由\(n(n\ge 0)\)个元素组成的有穷序列: Lst = (a1, a2, ..., an)其中ai或者是原子项,或者是一个广义表,\(n\)为它的长度。若 ai 是广义表,则称为 子表
  2. 与线性表的区别:线性表的数据元素都是 相同 的数据类型,但是广义表的数据元素可以还是广义表
  3. 性质
    1. 层次性:广义表可以是一个多层次的结构
    2. 共享性:一个广义表可以被其他广义表所共享
    3. 递归性:广义表可以是本身的子表
  4. 概念
    1. 广义表的长度:广义表中元素的数目
    2. 表头:非空广义表的 第一个元素
    3. 表尾:除表头元素之外,其余元素构成的 广义表
    4. 深度:广义表中括号的重数
      List 长度 表头 表尾 深度
      A = () 0 无定义 无定义 1
      B = (e) 1 e () 2
      C = (a, (b, c, d)) 2 a ((b, c, d)) 2
      D = ((), e, (a, (b, c, d))) 3 () (e, (a, (b, c, d))) 3
      E=(a, E) 2 a (E) \(\infty\)

标签:06,广义,int,元素,矩阵,算法,数组,数据结构,col
From: https://www.cnblogs.com/RadiumGalaxy/p/16803849.html

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