前缀和算法讲解（二）

首先，大家看一下一维的前缀和：https://blog.csdn.net/hjyowl/article/details/136580832?spm=1001.2014.3001.5502

今天，我们讲解一下二维的前缀和.

先看题：

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。

接下来 q行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

算法讲解:

这道题暴力要超时，这儿就不展示了.

 我们联想到上一次的一维。

这次，我们设前缀和数组为s.

s[i][j]表示矩形(0,0)(i,j)的和。

那随便给你4个数，怎么求呢？

所以说答案是s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1].

还有第二个问题,怎么求s[i][j].

很简单，s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

所以说代码就写出来了：
 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q;
const int N = 1010;
int a[N][N],s[N][N];
int main(){
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ){
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++){
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ){
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
    while (q -- ){
        int x1,y1,x2,y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

这就是二维的前缀和，三维，四维也是一样的。

好，今天就讲到这儿.