算法中递归的执行过程

原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_38754799/article/details/120681819

我们来看一下 函数sum（n=5）的递归执行过程，如下： 

计算sum（5）时，先sum（5）入栈，然后原问题sum（5）拆分为子问题sum（4），再入栈，直到终止条件sum（n=1）=1，就开始出栈。

sum（1）出栈后，sum（2）开始出栈，接着sum（3）。

最后呢,sum（1）就是后进先出，sum（5）是先进后出，因此递归过程可以理解为栈出入过程。

实例分析

我对递归的理解是先往下一层层传递，当碰到终止条件的时候会反弹，最终会反弹到调用处。下面我们就以5个最常见的示例来分析下

1，阶乘

我们先来看一个最简单的递归调用-阶乘，代码如下

public int recursion(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    return n * recursion(n - 1);
}

　　这个递归在熟悉不过了，第2-3行是终止条件，第4行是调用自己。我们就用n等于5的时候来画个图看一下递归究竟是怎么调用的：

这种递归还是很简单的，我们求f(5)的时候，只需要求出f(4)即可，如果求f(4)我们要求出f(3)……，一层一层的调用，当n=1的时候，我们直接返回1，然后再一层一层的返回，直到返回f(5)为止。

递归的目的是把一个大的问题细分为更小的子问题，我们只需要知道递归函数的功能即可，不要把递归一层一层的拆开来想，如果同时调用多次的话这样你很可能会陷入循环而出不来。比如上面的题中要求f(5)，我们只需要计算f(4)即可，即f(5)=5*f(4)；至于f(4)是怎么计算的，我们就不要管了。因为我们知道f(n)中的n可以代表任何正整数，我们只需要传入4就可以计算f(4)。

2、二叉树的遍历

再来看最后一个常见的示例就是二叉树的遍历，分为前序遍历、中序遍历、后序遍历，代码其实都差不多，这里只列出其中一个遍历。

前序遍历：

终止条件是node等于空，逻辑处理这块直接打印当前节点的值即可，递归调用是先打印左子树在打印右子树，我们来看下

public static void preOrder(TreeNode node) {
    if (node == null)
        return;
    System.out.printf(node.val + "");
    preOrder(node.left);
    preOrder(node.right);
}

　　3、翻转一棵二叉树

[1.定义函数功能]

函数功能（即这个递归原问题是），给出一颗树，然后翻转它。

[2.寻找递归终止条件]

这棵树什么时候不用翻转呢？当然是当前节点为null或者当前节点为叶子节点的时候啦。因此，加上终止条件就是：

//翻转一颗二叉树
public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
    if(root==null || (root.left ==null && root.right ==null)){
       return root;
    }
}

[3.递推函数的等价关系式]

首先，你要翻转根节点为4的树，就需要翻转它的左子树（根节点为2）和右子树(根节点为7）。

然后呢，根节点为2的树，不是叶子节点，你需要继续翻转它的左子树（根节点为1）和右子树（根节点为3）。因为节点1和3都是叶子节点了，所以就返回啦。

同理，根节点为7的树，也不是叶子节点，你需要翻转它的左子树（根节点为6）和右子树（根节点为9）。因为节点6和9都是叶子节点了，所以也返回啦。

左子树（根节点为2）和右子树(根节点为7）都被翻转完后，这几个步骤就「归来」，即递归的过程，翻转树的任务就完成了。

显然，「递推关系式」就是：

invertTree（root）= invertTree（root.left） + invertTree（root.right）;

　　于是，很容易可以得出以下代码：

class Solution {
    public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
         if(root==null || (root.left ==null && root.right ==null)){
           return root;
         }
         //翻转左子树
         TreeNode left = invertTree(root.left);
         //翻转右子树
         TreeNode right= invertTree(root.right);
         //左右子树交换位置~
         root.left = right;
         root.right = left;
         return root;
    }
}

递归存在的问题

递归调用层级太多，导致栈溢出问题

递归重复计算，导致效率低下

我们再来看一道经典的青蛙跳阶问题：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

绝大多数读者朋友，很容易就想到以下递归代码去解决：

class Solution {
    public int numWays(int n) {
    if (n == 0){
       return 1;
     }
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    return numWays(n-1) + numWays(n-2);
    }
}

　　但是呢，去leetcode提交一下，就有问题啦，超出时间限制了

为什么超时了呢？递归耗时在哪里呢？先画出「递归树」看看：

要计算原问题 f(10)，就需要先计算出子问题 f(9) 和 f(8)

然后要计算 f(9)，又要先算出子问题 f(8) 和 f(7)，以此类推。

一直到 f(2) 和 f(1），递归树才终止。

我们先来看看这个递归的时间复杂度吧，递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间*子问题个数

一个子问题时间 =  f（n-1）+f（n-2），也就是一个加法的操作，所以复杂度是 「O(1)」；

问题个数 = 递归树节点的总数，递归树的总结点 = 2^n-1，所以是复杂度「O(2^n)」。

因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 = O(1) * O(2^n) =  O(2^n)，就是指数级别的，爆炸增长的，如果n比较大的话，超时很正常的了。

回过头来，你仔细观察这颗递归树，你会发现存在大量重复计算，比如f（8）被计算了两次，f（7）被重复计算了3次...所以这个递归算法低效的原因，就是存在大量的重复计算！

怎么解决这个问题呢？

既然存在大量重复计算，那么我们可以先把计算好的答案存下来，造一个备忘录，等到下次需要的话，先去「备忘录」查一下，如果有，就直接取就好了，备忘录没有才再计算，那就可以省去重新重复计算的耗时啦！这就是带备忘录的解法.

一般使用一个数组或者一个哈希map充当这个「备忘录」。

假设f(10)求解加上「备忘录」，我们再来画一下递归树：

「第一步」，f（10）= f(9) + f(8)，f(9) 和f（8）都需要计算出来，然后再加到备忘录中，如下：

「第二步」 , f(9) = f（8）+ f（7），f（8）= f（7）+ f(6), 因为 f(8) 已经在备忘录中啦，所以可以省掉，f(7),f（6）都需要计算出来，加到备忘录中~

 「第三步」 ,f(8) = f（7）+ f(6),发现f(8)，f(7),f（6）全部都在备忘录上了，所以都可以剪掉。

所以呢，用了备忘录递归算法，递归树变成光秃秃的树干，如下：

带「备忘录」的递归算法，子问题个数=树节点数=n，解决一个子问题还是O(1),所以「带「备忘录」的递归算法的时间复杂度是O(n)」。接下来呢，我们用带「备忘录」的递归算法去撸代码，解决这个青蛙跳阶问题的超时问题，代码如下：

public class Solution {
    //使用哈希map，充当备忘录的作用
    Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();
    public int numWays(int n) {
        // n = 0 也算1种
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        if (n <= 2) {
            return n;
        }
        //先判断有没计算过，即看看备忘录有没有
        if (tempMap.containsKey(n)) {
            //备忘录有，即计算过，直接返回
            return tempMap.get(n);
        } else {
            // 备忘录没有，即没有计算过，执行递归计算,并且把结果保存到备忘录map中，对1000000007取余（这个是leetcode题目规定的）
            tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);
            return tempMap.get(n);
        }
    }
}