4.13 ACM-ICPC算法：字符串之后缀自动机
在竞赛编程，尤其是ACM-ICPC竞赛中，字符串算法占据了极其重要的位置。其中，后缀自动机(Suffix Automaton, 简称SAM)以其强大的功能和高效的性能，成为了解决字符串问题的利器。本文旨在介绍后缀自动机的基本概念、构建方法以及在算法竞赛中的应用示例。
不熟悉自动机的的这可以看看我这篇文章：2.4 从正规式到有限自动机
基本概念
后缀自动机是一种特殊的确定性有限自动机（DFA），它可以表示某个给定字符串的所有后缀。SAM的每一个状态都代表了字符串的一系列后缀的“结束位置”，并通过转移关系连接。它有两个显著特点：最小性和线性构建时间复杂度。最小性意味着对于一个特定的字符串，它的后缀自动机具有最少的状态数；线性构建时间则表明，我们可以在与字符串长度成线性关系的时间内构建出其SAM。
构建过程
后缀自动机的构建是一个动态的过程，随着字符串的每一个字符的加入，自动机的结构逐步建立和完善。具体步骤如下：
初始化
一开始，我们创建一个初始状态，该状态不代表任何字符，它是构建过程的基础。
字符加入
对于字符串中的每一个新字符，我们执行以下操作：
- 创建新状态：为当前加入的字符创建一个新的状态。
- 更新转移：检查现有的状态，根据需要更新状态间的转移关系。如果必要，为了保持自动机的最小性，还可能涉及到分裂某些状态。
转移更新
每当添加新字符时，我们通过更新转移函数来维护和扩展自动机的结构，确保它能准确表示加入新字符后字符串的所有后缀。
应用示例
后缀自动机在算法竞赛中有广泛的应用，例如：
- 查找子串：通过遍历自动机，可以快速判断一个字符串是否为另一个字符串的子串。
- 最长重复子串：通过分析自动机的结构，可以有效找出给定字符串的最长重复子串。
查找子串
给定字符串S和子串T，我们可以通过遍历S的后缀自动机，检查是否存在一条从初始状态出发，能够通过连续的转移对应于子串T的路径。如果这样的路径存在，则T是S的子串。
最长重复子串
寻找最长重复子串涉及到在后缀自动机中寻找最长的可以从多个不同路径到达的状态。这通常通过深度优先搜索(DFA)实现，同时记录下路径长度。
后缀自动机的高级应用
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动态问题：后缀自动机可以用于解决一些动态字符串问题，例如，在线添加字符并查询字符串的某些性质（如不同子串的数量、最长重复子串等）。
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字符串压缩：通过后缀自动机的结构，我们可以设计一些字符串的压缩算法。由于后缀自动机本质上是对给定字符串的所有后缀（因而也包括所有子串）的压缩表示，它提供了一种可能的路径，通过选择性地存储转移和状态来压缩字符串。
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复杂模式匹配：除了基本的子串搜索之外，后缀自动机还可以用于更复杂的模式匹配问题，例如查找具有特定模式重复次数的最长子串，或是在多个字符串中寻找最长的公共子串。
实际编程技巧
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空间优化：在实现后缀自动机时，由于状态数量最多为字符串长度的两倍，因此需要注意空间的优化。可以通过各种技巧减少每个状态所需的存储空间，例如使用指针而非直接存储转移表，或利用特定数据结构（如map）仅存储存在的转移。
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转移的压缩存储：由于不是每个状态都会有从a到z的转移，可以使用更加节省空间的数据结构来存储转移，如压缩表、哈希表等，以减少存储空间的浪费。
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后缀链接的应用：后缀自动机中的后缀链接是解决许多问题的关键。在实际应用中，正确并高效地利用后缀链接可以大幅度简化问题的解法，特别是在处理与子串相关的查询时。
结论
后缀自动机是解决字符串问题的一个强大工具，它不仅在算法竞赛中被广泛应用，也对理解和掌握字符串处理技术非常有帮助。通过学习和实践SAM的构建和应用，可以极大地提高解决复杂字符串问题的能力。希望本文能够为你在算法竞赛中的字符串问题求解提供帮助。
这篇文章后续还会继续更新，比如证明过程和性质还有应用例题读者尽情期待。
