dijkstra算法
思路：
1、将所有顶点分为p、q两个集合，p已求出最短路径，q未求出最短路径。
2、令源点\(start\)到自己的距离为0，即\(dis[start]=0;\)
3、从p集合中找到距离源点最近的点，与之有边\(<u,v,w>\)相连的点v到源点的距离可更新为\(dis[v]=min(dis[v],dis[u]+w)\)，不断重复直到q集合为空。
朴素版 O( \(n^2\) )：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510, M=1e5+10,INF = 0x3f3f3f3f;
int dis[N], vis[N],h[N],to[M],w[M],ne[M],idx;
int n, m, start;
void add(int u,int v,int c) {
to[++idx]=v;
w[idx]=c;
ne[idx]=h[u];
h[u]=idx;
}
void dijkstra() {
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
dis[start] = 0; //起点距离为0
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)//在还未确定最短路的点中，找到距离最小的点
if (!vis[j] && (t == -1 || dis[j] < dis[t]))
t = j;
vis[t] = 1;
for (int j = h[t]; j != -1; j=ne[j]) { //用t更新其他点的距离
int k=to[j];
dis[k] = min(dis[k], dis[t] + w[j]);
}
}
}
int main() {
cin >> n >> m ;
memset(h,-1,sizeof h); //初始化h数组
int x, y, z;
for (int i = 1; i <= m; i++) { //输入边
cin >> x >> y >> z;
add(x,y,z);
}
start = 1;
dijkstra();
if (dis[n] == INF)
cout << -1;
else
cout << dis[n];
return 0;
}
堆优化版O(\(m\ log_n\))：
优化思路：时间开销主要在查找距离p集合最近的点，可以使用优先队列进行优化。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 2e5, M = N * 2;
int n, m, s;
int h[N], to[M], w[M], ne[M], idx;
int dis[N];
bool vis[N];
void add(int u, int v, int c) { //链式前向星加边
to[++idx] = v;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[u];
h[u] = idx;
}
void dijkstra() {
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
dis[s] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap; //优先队列（小根堆）
heap.push({0, s}); //把起点放入堆中
while (heap.size()) { //遍历堆
int t = heap.top().second; //取出堆顶元素，进行更新
heap.pop();
if (vis[t]) continue;
vis[t] = true;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = to[i];
if (dis[j] > dis[t] + w[i]) { //更新，松弛操作
dis[j] = dis[t] + w[i];
heap.push({dis[j], j});
}
}
}
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> n >> m;
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
}
s=1; //起点是1
dijkstra();
if (dis[n] == 0x3f3f3f3f)
cout << -1;
else
cout << dis[n];
return 0;
}
补充：
建反向图：
1、反向图1
2、反向图2
Bellman_ford
思路：以每条边来松弛，如果发现终点能够通过该边使得路径变短，那么更新。
判断负环：在没有负环的图中，每个点最多被其他\(n-1\)个点各更新一次，如果被更新了第\(n\)次那么说明有负环。
复杂度\(O(nm)\)
适用条件：能够判断负环，可以有负权边。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m;
int dis[maxn];
vector<pii>edge[150];
void in() {
int a,b,c;
for(int i=1; i<=m; i++) {
cin>>a>>b>>c;
edge[a].push_back(make_pair(b,c));
edge[b].push_back(make_pair(a,c));
}
}
void Bellman_ford(int st) {
dis[st]=0;
for(int k=1; k<n; k++) { //对应n-1伦操作
bool flag=1;
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=0; j<edge[i].size(); j++) {
int u=i,v=edge[i][j].first,w=edge[i][j].second;
if(dis[v]>dis[u]+w) {
dis[v]=dis[u]+w;
flag=0;
}
}
}
if(flag)break;
}
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=0; j<edge[i].size(); j++) {
int u=i,v=edge[i][j].first,w=edge[i][j].second;
if(dis[v]>dis[u]+w) {
cout<<"fuhuan";
}
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
while(cin>>n>>m&&(n||m)) {
for(int i=1; i<=n; i++)edge[i].clear(),dis[i]=INF;
in();
Bellman_ford(1);
cout<<dis[n]<<endl;
}
return 0;
}
## SPFA（优化版Bellman_ford）
优化思路：由于$Bellman_ford$的核心在于松弛操作，易得只有起点被更新了，才能够更新与它相连的点，只需使用队列记录能够更新其他点的点即可。
```cpp
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m;
int dis[maxn];
bool vis[maxn];
int times[maxn];
vector<pii>edge[150];
int read() {
int s=0,t=1;
char c=getchar();
while(!isdigit(c)) {
if(c=='-')t*=-1;
c=getchar();
}
while(isdigit(c)) {
s=(s<<3)+(s<<1)+c-48;
c=getchar();
}
return s*t;
}
void in() {
int a,b,c;
for(int i=1; i<=m; i++) {
a=read();
b=read();
c=read();
edge[a].push_back(make_pair(b,c));
edge[b].push_back(make_pair(a,c));
}
}
void SPFA(int st) {
queue<int>q;
vis[st]=1;
q.push(st);
dis[st]=0;
while(q.size()) {
int u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=0; i<edge[u].size(); i++) {
int v=edge[u][i].first,w=edge[u][i].second;
if(dis[v]>dis[u]+w) {
dis[v]=dis[u]+w;
if(!vis[v]) {
q.push(v);
vis[v]=1;
times[v]++;
if(times[v]==n)return ;
}
}
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
while(1) {
n=read();
m=read();
if(n==m&&!n)break;
for(int i=1; i<=n; i++)edge[i].clear(),dis[i]=INF;
in();
SPFA(1);
cout<<dis[n]<<endl;
}
return 0;
}