基本差分算法：一维差分、二维差分

1、一维差分

首先要知道，差分是前缀和的逆运算，

a1 a2 …… an 前缀和
b1 b2 …… bn 差分

以AcWing.797为例，题目要求如下：

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l, r, c ，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c 。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式：
第一行包含两个整数 n 和m 。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数l，r，c ，表示一个操作。

输出格式：
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c) {
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        insert(i, i, a[i]);
    }

    while (m--) {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        
        insert(l, r, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] += b[i - 1];
        printf("%d ", b[i]);
    }

    return 0;
}

2、二维差分

二维差分需要用到二维矩阵和的思想。

以ACWing.798为例，题目要求如下：

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，
其中(x1,y1)和(x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式：
第一行包含整数n,m,q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式
共n行，每行m个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

#include <iostream>

const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main() {
    int n, m, q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
        }
    }
    
    int x1, y1, x2, y2, c;
    while (q--) {
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]; 
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    return 0;
}