基本前缀和算法：一维前缀和、二维前缀和、子矩阵和

1、一维前缀和

以AcWing.795为例，题目要求如下：

输入一个长度为N的整数序列。
接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。
对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数数列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);

    int q[N], s[N];
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &q[i]); 
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + q[i];
    
    int l, r;
    while (m--) {
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    
    return 0;
}

2、二维前缀和与子矩阵和

以AcWing.796为例，题目要求如下：

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，
每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N], s[N][N];

int main() {
    int n, m, q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }

    int x1, y1, x2, y2;
    while (q--) {
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    
    return 0;
}