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[tarjan强连通分量算法] 目的,图解,思路,伪代码,实例

时间:2023-04-22 14:02:45浏览次数:57  
标签:tarjan min 连通 访问 dfn low 图解 节点

强连通分量算法(Tarjan's Strongly Connected Component Algorithm)

利用深度优先算法找到一个非强连通的有向图中的所有强连通子图。无向图可以被认为是同时具备u->v和v->u的图。

一些概念
  • 强连通:在有向图中,任意点u与v之间存在有来回两个方向的通路,类似存在一个环;

  • 强连通图:图中任意两点存在强连通;

  • 强连通分量:图中存在强连通的子图;

  • DFN(u):定义为第一次访问点u时的时间戳;

  • LOW(u):定义为u或u的子树能够回溯到的最早的栈中节点的DFN(u)。

思路

当dfn[u] = low[u]时,以u为根的子树上所有节点是一个强连通分量。

  1. 首次访问某点u时,令low[u] = dfn[u] = index(or time)(初始化)

  2. 每到达一个点u,将其入栈(dfs的内容)

  3. 遍历所有与点u相连的点v:

    • 若v不在栈中(树枝边)即未被访问过,递归方法继续往v后面搜索(如dfs()/tarjan()),最终会得出新的low[v];即low[u]=min(low[u], low[v]);

    • 若v在栈内即已被访问,通过比较low[u]和v第一次被访问时的序列号/次数,来更新low[u],即low[u] = min(low[u], dfn[v])。

图解(来自史上最清晰的Tarjan算法详解-segementFault

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强连通分量:[{0,1,2,3},{4},{5}]

第一步:从节点0开始
  • 首先访问 0 -> 2 -> 4 -> 5并将其加入栈。根据访问顺序标记为1至4。这里也可以从0往1走。

  • 对于节点5(栈内第一个元素),没有后续的节点了,检查到dfn[5] = low[5] = 4,所以退栈,得{5}为一个强连通分量。

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第二步:返回节点4
  • 节点4只有一个子树(节点5,已退栈),因此low[4] = min(low[4], low[5]) = low[4] = 3。

  • 节点4后无其他子节点,且low[4] = dfn[4],退栈,得到第二个强连通分量。

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第三步:返回节点2,并访问节点3及其子树
  • low[2] = min(low[2], low[4]) = 2,节点4(已出栈)是其中一个子节点, 节点2仍有后续子节点;

  • 继续探索节点2的另一个子节点3。节点3入栈,初始化dfn[3] = low[3] = 5;

  • 发现节点3有通向节点0的路径,且节点0仍在栈中,有low[3] = min(low[3], dnf[0]) = 1;

  • 发现节点3有通向节点5的路径,但5已退栈,无需更新low[3]。

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第四步:从节点3返回节点2
  • 根据刚刚得到的新low[3]更新low[2] = min(low[2], low[3]) = 1;

  • 节点2无其他后续子节点,返回0

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第五步:返回节点0,并访问节点1及其子树
  • 根据low[2]更新low[0],low[0] = min(low[0], low[2]) = 1;

  • 发现节点1,dfn[1] = low[1] = 6;

  • 发现后续节点3且3还在栈内,low[1] = min(low[1], dfn[3]) = 5

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第六步:返回节点0
  • dfn[0] = low[0] = 1, 退栈至0,得

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伪代码

void tarjan(int u) {
  ++index;
  dfn[u] = low[u] =index;                // 节点u的初始值
  stack.push(u);                         // 入栈
  for (auto& e : edges[u]) {             // 遍历与u相连的点
	if (!visited[e]) {               // 若e未被访问过
	  tarjan(e);                     // 继续向下找其子节点
	  low[u] = min(low[u], low[v]);
	}
	else if (e is in stack) {        // 若e被访问过且还在栈内
	  low[u] = min(low[u], dfn[e]);
	}
  }
  if (dfn[u] == low[u]) {                // 遍历完所有子节点后,检查是否相等
    while (!stack.empty()) {             // 循环退栈并打印
	  v = stack.pop();
	  print v;
	}
  }
}

实例

标签:tarjan,min,连通,访问,dfn,low,图解,节点
From: https://www.cnblogs.com/Akira300000/p/17342951.html

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