代码随想录算法训练营

代码随想录算法训练营Day45 动态规划|70. 爬楼梯（进阶） 322. 零钱兑换

70. 爬楼梯 （进阶）

题目链接：70. 爬楼梯 （进阶
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1： 输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

总体思路

本题稍加改动就是一道面试好题。
改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！
动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
2. 确定递推公式
   在动态规划：494.目标和 、 动态规划：518.零钱兑换II、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
   本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
   那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
3. dp数组如何初始化
   既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
   下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
4. 确定遍历顺序
   这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
   所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
   每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
5. 举例来推导dp数组
   本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ几乎是一样的，这里就不再重复举例了。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

322. 零钱兑换

题目链接：322. 零钱兑换
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：

• 输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
• 输出：3
• 解释：11 = 5 + 5 + 1

总体思路

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
2. 确定递推公式
   凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
   所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
   递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
3. dp数组如何初始化
   首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
   其他下标对应的数值呢？
   考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
   所以下标非0的元素都是应该是最大值。
   代码如下：

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

4. 确定遍历顺序
   本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
   所以本题并不强调集合是组合还是排列。
   如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
   如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
   在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划：518.零钱兑换II，求排列数是动态规划：377. 组合总和 Ⅳ。
   所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！
   那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。
   本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
   综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
5. 举例推导dp数组
   以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
   
   dp[amount]为最终结果。

// 版本一
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};