1.应用场景-修路问题

看一个应用场景和问题：

1)有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通

2)各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里

3)问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

思路: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.

正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.

2.最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

1)给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树

2)N个顶点，一定有N-1条边

3)包含全部顶点

4)N-1条边都在图中

5)举例说明(如图:)

6)求最小生成树的算法主要是普里姆 算法和克鲁斯卡尔算法

3.普里姆算法介绍

1. 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
2. 普利姆的算法如下:
   1. 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
   2. 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
   3. 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
   4. 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解

4.普里姆算法实现

package com.yt.prim;

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		//测试图是否创建成功
		char[] data = {'A','B','C','D','E','F','G'};
		int verxs = data.length;
		//创建邻接矩阵，使用二维数组来表示，有一个比较大的数表示两个点之间不能联通
		int[][] weight = new int[][]{
			{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
			{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
			{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
			{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
			{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
			{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
			{2,3,10000,10000,4,6,10000}
		};
		
		//创建MGraph对象
		MGraph graph = new MGraph(verxs);
		//创建一个MinTree对象
		MinTree minTree = new MinTree();
		minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
		//输出
		minTree.showGraph(graph);
		
		minTree.prim(graph, 0);

	}

}

//2.创建最小生成树
class MinTree{
	//创建图的邻接矩阵
	/**
	 * 
	 * @param graph 图对象
	 * @param verxs 图对应的顶点个数
	 * @param date 图的各个顶点的值
	 * @param weight 图的邻接矩阵
	 */
	public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight){
		int i,j;
		for(i=0; i<verxs; i++){
			graph.data[i] = data[i];
			for(j=0; j<verxs; j++){
				graph.weight[i][j] = weight[i][j];
			}
		}
	}
	
	//显示图的邻接矩阵
	public void showGraph(MGraph graph){
		for(int[] link: graph.weight){
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
	
	//编写prim算法，得到最小生成树
	/**
	 * 
	 * @param graph 图
	 * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成最小生成树 ‘A'->0 'B'->1....
	 */
	public void prim(MGraph graph, int v){
		//visited[] 标记顶点是否被访问过
		int visited[] = new int[graph.verxs];
		//visited[] 默认值都是0，表示没有访问过
		for(int i=0; i<graph.verxs; i++){
			visited[i] = 0;
		}
		//把当前这个结点标记为已经访问
		visited[v] = 1;
		//h1和h1记录两个顶点的下标
		int h1 = -1;
		int h2 = -1;
		int minWeight = 10000;//将minWeight初始成一个比较大的数，在遍历过程中会被替换
		for(int k=1; k<graph.verxs; k++){
			//因为有graph.verxs个结点，prim算法结束之后，有graph.verxs-1条边
			//确定每一次生成的子图，和哪个结点的距离最近
			for(int i=0; i<graph.verxs; i++){//i结点表示已经被访问过的结点
				for(int j=0; j<graph.verxs; j++){//j结点表示还没有访问过的结点
					if (visited[i]==1 && visited[j]==0 && graph.weight[i][j]<minWeight) {
						//找到已经访问过结点和未访问结点间的权值最小的边
						minWeight=graph.weight[i][j];
						h1=i;
						h2=j;
					}
				}
			}
			//找到一条边是最小值
			System.out.println("边<"+ graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);
			//将该结点标记为已访问
			visited[h2] = 1;
			//重置minWeight的值
			minWeight = 10000;
		}
		
	}
	
}


//1.创建图
class MGraph{
	int verxs;//表示图的结点个数
	char[] data;//存放结点数据
	int[][] weight;//存放边，邻接矩阵
	
	public MGraph(int verxs){
		this.verxs = verxs;
		data = new char[verxs];
		weight = new int[verxs][verxs];		
	}
	
}