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算法提高课 第四章 数据结构之并查集

时间：2022-08-29 23:27:47浏览次数：76  
标签：结点 数据结构 return int 查集 集合 include find 第四章

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一、并查集

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1250. 格子游戏

思路 O(mlog(n))

  1. 将图中的每个点看作并查集的结点，每个被画的边看作合并相邻的点的操作
  2. 将图中所有点按行或列优先，从1~n*m进行编号
  3. 每次进行合并时，当两个结点属于一个集合时，说明找到了一个封闭的圈

题解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 201*24001;

int p[N],n,m;

int turn(int x,int y) //二维编号转化为一维编号
{
    return (x-1)*m + y;
}

int find(int x) //合并操作
{
    if(p[x]!=x) return p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}


int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i<=n*m;i++) p[i] = i;
    for(int k = 1;k<=m;k++)
    {
        int x,y,a,b;
        char c;
        cin>>x>>y>>c;
        if(c == 'D') 
        {
            a = turn(x,y),b = turn(x+1,y);
        }
        else
        {
            a = turn(x,y),b = turn(x,y+1);
        }
        a = find(a),b = find(b);
        if(a==b) //每次进行合并时，当两个结点属于一个集合时，说明找到了一个封闭的圈
        {
            cout<<k<<endl;
            return 0;
        }
        else p[a] = b;//否则进行合并
    }
    puts("draw");//找不到封闭的圈
    return 0;
}

1252. 搭配购买

思路 O(N^2)：并查集+01背包

先用并查集将捆绑商品进行合并，再做一遍01背包问题

题解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10010;

int p[N],v[N],w[N];
int f[N];
int n,m,vol;

int find(int x)
{
    if(p[x]!=x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
void merge(int a,int b)
{
    a = find(a),b = find(b);
    if(a!=b) //注意：只有非共同集合才可进行合并
    {
        
        v[a] += v[b];
        w[a] += w[b];
        p[b] = a;
    }
    return;
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>vol;
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
        p[i] = i;
    }
    while (m -- )
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        merge(a,b);
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        if(p[i] == i) //只对祖先结点做01背包
        {
            for(int j = vol;j>=v[i];j--)
            {
                f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout<<f[vol]<<endl;
    return 0;
}

237. 程序自动分析

思路：离散化

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由于变量的数据范围过大1e9，且约束关系使用到的变量个数最多为2e5，因此要离散化，由于无需关注变量间的大小关系，因此用无需离散化即可。

  1. 离散化
  2. 将所有相等条件的变量所在集合进行合并
  3. 对所有不等条件的变量进行判断，是否属于一个集合，属于则矛盾

题解

无序离散化

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

map<int,int>S;
int T,n,cnt;
int p[N*2];
bool f;
struct Equ
{
    int x,y,e;
}equ[N]; //存储所有变量的关系

int get(int x) //将x进行无序离散化，返回离散化后的值
{
    if(!S.count(x)) //若未进行离散化，则先离散化
    {
        S[x] = ++cnt; //对于每个数，返回唯一的值即可，故可用序号作为离散化后的值，从1开始
    }
    return S[x];
}
int find(int x)
{
    if(p[x]!=x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
void merge(int a,int b)
{
    a = find(a),b = find(b);
    if(a!=b)
    {
        p[a] = b;
    }
    return;
}
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        f = true;
        cnt = 0;
        scanf("%d", &n);
        S.clear();
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            int a,b,e;
            scanf("%d%d%d", &a, &b,&e);
            equ[i] = {get(a),get(b),e};//注意：存储离散化后的值，必须离线处理
        }
        for(int i = 1;i<=cnt;i++)
        {
            p[i] = i;
        }
        for(int i = 0;i<n;i++) //先将所有相等关系合并到一个集合
        {
            int a = equ[i].x,b = equ[i].y;
            if(equ[i].e)
            {
                merge(a,b);
            }
        }
        for(int i = 0;i<n;i++) //再进行矛盾分析，对于不等的两个变量，若它们在一个集合，说明矛盾
        {
            int a = equ[i].x,b = equ[i].y;
            if(!equ[i].e)
            {
                if(find(a) == find(b))
                {
                    f = false;
                    break;
                }
            }
        }
        if(f) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}

有序离散化

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int T,n,cnt;
int p[N*2];
bool f;
struct Equ
{
    int x,y,e;
}equ[N]; //存储所有变量的关系

vector<int>alls;

int find(int x)
{
    if(p[x]!=x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
void merge(int a,int b)
{
    a = find(a),b = find(b);
    if(a!=b)
    {
        p[a] = b;
    }
    return;
}

int get(int x)
{
    int l = 0,r = alls.size() - 1;
    while(l<r)
    {
        int mid = l+r>>1;
        if(x <= alls[mid]) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l + 1;
}
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        f = true;
        cnt = 0;
        scanf("%d", &n);
        alls.clear();

        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            int a,b,e;
            scanf("%d%d%d", &a, &b,&e);
            equ[i] = {a,b,e};//注意：存储离散化后的值，必须离线处理
            alls.push_back(a),alls.push_back(b);
        }
        sort(alls.begin(),alls.end());
        alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()),alls.end());
        cnt = alls.size();
        for(int i = 1;i<=cnt;i++)
        {
            p[i] = i;
        }
        for(int i = 0;i<n;i++) //先将所有相等关系合并到一个集合
        {
            equ[i].x = get(equ[i].x);
            equ[i].y = get(equ[i].y);
            int a = equ[i].x,b = equ[i].y;
            if(equ[i].e)
            {
                merge(a,b);
            }
        }
        for(int i = 0;i<n;i++) //再进行矛盾分析，对于不等的两个变量，若它们在一个集合，说明矛盾
        {
            int a = equ[i].x,b = equ[i].y;
            if(!equ[i].e)
            {
                if(find(a) == find(b))
                {
                    f = false;
                    break;
                }
            }
        }
        if(f) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}

238. 银河英雄传说

思路：并查集+维护距离

路径压缩中d[]距离的维护

  • d[x]:当前结点x到父节点p[x]的距离，find操作后会变成到集合根结点的距离
  • 合并集合时，假设把集合b挂到集合a下面，则集合b中所有元素的px变为a的根结点，此时到px距离需加上a的元素个数。
  • 我们运用前缀和思想，路径压缩时只给b集合的根结点的距离加上a的元素个数
  • 在路径压缩时，通过递归会给b中所有元素的距离加上a的元素个数
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题解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 30010;

int p[N];
int cnt[N];//当前集合的个数
int d[N]; //d[x]:结点x到p[x]的距离
int T,n;

int find(int x) //带距离p[x]维护的路径压缩与返回根结点
{
    if(p[x] != x) 
    {
        int root = find(p[x]);//先对p[x]进行操作，并找到根结点
        d[x] += d[p[x]]; //压缩后p[x]变为根结点，距离变为到px的距离+px到根结点的距离
        p[x] = root;//将根节点赋值给px，完成路径压缩
    }
    return p[x];//返回根结点
}
void merge(int a,int b) //a<-b 把b接到a上,前缀和思想：a集合中的d[]不变，b集合中的所有d[]加上cnt[pa]
{
    int pa = find(a),pb = find(b);
    if(pa!=pb)
    {
        p[pb] = pa;
        d[pb] += cnt[pa]; //给b的到根结点的距离加集合a中元素个数即可，后面路径压缩(find)操作会给b集合的
        //所有d[]加上cnt[pa]
        cnt[pa] += cnt[pb]; //合并时维护元素个数
    }
    return;
}

int main()
{
    scanf("%d", &T);
    for (int i = 1; i <= N; i ++ )
    {
        p[i] = i;
        cnt[i] = 1;
        //d[i] = 0;
        
    }
    while(T--)
    {
        char op[2];
        int x,y;
        scanf("%s%d%d", op,&x, &y);
        if(op[0] == 'M')
        {
            merge(x,y);
        }
        else
        {
            int px = find(x),py = find(y);
            if(x == y) //二者相等间隔个数为0
            { 
                cout << 0 << endl;
                continue;
            }
            if(px != py)//二者不在同一个集合
            {
                cout<< -1 <<endl;
                continue;
            }
            cout<<abs(d[x] - d[y]) - 1<<endl; //间隔元素个数 = 距离 - 1
        }
    }
    return 0;
}

239. 奇偶游戏

思路1(带权并查集+无序离散化)

带权并查集(边权d[]表示01关系)
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image
设S[L,R]为区间[L,R]中1的个数，根据前缀和S[L,R] = S[1,R] - S[1,L-1]，
若S[L,R]为偶数，则S[R]与S[L-1]奇偶性相同(奇-奇=偶，偶-偶=偶)
若S[L,R]为奇数，则S[R]与S[L-1]奇偶性不同
设d[x]为x与p[x]的关系，0为奇偶性一致，1为奇偶性不一致

  • 若x与y奇偶性相同，且属于同一集合，则d[x]和d[y]表示二者与根结点的关系，(d[x] + d[y]) % 2则为x与y的关系，此时应该为0，否则产生矛盾。
  • 若x与y奇偶性相同，但属于不同集合，则需要按照要求进行合并,假设将x所在集合挂到y集合的下面，x与y的关系为(d[x] + d[px] + d[y]) % 2,此时应该为0，则d[px] = (d[x] + d[y]) % 2(非负等价)
  • 若x与y奇偶性不同，且属于同一集合，则d[x]和d[y]表示二者与根结点的关系，(d[x] + d[y]) % 2则为x与y的关系，此时应该为1，否则产生矛盾。
  • 若x与y奇偶性不同，但属于不同集合，则需要按照要求进行合并,假设将x所在集合挂到y集合的下面，x与y的关系为(d[x] + d[px] + d[y]) % 2,此时应该为1，则d[px] = (1 + d[x] + d[y]) % 2(非负等价)

无序离散化
本题序列长度很大，但问题数量不大，因此使用到的区间端点不多，可以用无序离散化

题解1

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#include <string>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n,m;
int p[N],d[N];
unordered_map<int,int>S;

int get(int x) //无序离散化
{
    if(!S.count(x))
    {
        S[x] = ++n;
    }
    return S[x];
}

int find(int x) //带距离维护的找到集合根结点
{
    if(p[x]!=x)
    {
        int root = find(p[x]);
        d[x] += d[p[x]];
        p[x] = root;
    }
    return p[x];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    n = 0;
    for(int i = 1;i<=N;i++)
    {
        p[i] = i;
    }
    int ans = m;
    for(int k = 1;k<=m;k++)
    {
        int l,r;
        string op;
        cin>>l>>r>>op;
        l = get(l-1),r = get(r);
        int pl = find(l),pr = find(r);
        if(op[0] == 'e') //同类
        {
            if(pl == pr) //同一集合
            {
                if((d[l] + d[r]) % 2 != 0) //但是关系距离为1，不同类，矛盾
                {
                    ans = k - 1;
                    break;
                }
            }
            else //不同集合，需要合并，且关系距离为0
            {
                p[pl] = pr;
                d[pl] = (d[l] + d[r]) % 2;
            }
        }
        else //不同类
        {
            if(pl == pr) //同一集合 
            {
                if((d[l] + d[r]) % 2 == 0)//但是关系距离为0，同类，矛盾
                {
                    ans = k - 1;
                    break;
                }
            }
            else //不同集合，需要合并，且关系距离为1
            {
                p[pl] = pr;
                d[pl] = (d[l] + d[r] + 1) % 2;
            }
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

思路2：扩展域写法

p[x]:x属于第0类的集合根结点，p[x + Base]:x属于第1类的集合的根结点

题解2

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#include <string>

using namespace std;

const int N = 20020,Base = N/2;

int n,m;
int p[N],d[N];
unordered_map<int,int>S;

int get(int x) //无序离散化
{
    if(!S.count(x))
    {
        S[x] = ++n;
    }
    return S[x];
}

int find(int x) 
{
    if(p[x]!=x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    n = 0;
    for(int i = 1;i<=N;i++)
    {
        p[i] = i;
    }
    int ans = m;
    for(int k = 1;k<=m;k++)
    {
        int l,r;
        string op;
        cin>>l>>r>>op;
        l = get(l-1),r = get(r);
        int pl = find(l),pr = find(r);
        //p[x]:x属于第0类的集合根结点，p[x + Base]:x属于第1类的集合的根结点
        if(op[0] == 'e') //同类
        {
            if(find(l + Base) == find(r) || find(l) == find(r + Base)) //不同类属于一个集合，矛盾
            {
                ans = k - 1;
                break;
            }
            //同类合并
            p[find(l)] = find(r);
            p[find(l + Base)] = find(r + Base);
        }
        else //不同类
        {
            if(find(l) == find(r) || find(l + Base) == find(r + Base))//同类属于一个集合，矛盾
            {
                ans = k - 1;
                break;
            }
            
            //不同类合并
            p[find(l + Base)] = find(r);
            p[find(l)] = find(r + Base);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

标签：结点,数据结构,return,int,查集,集合,include,find,第四章
From： https://www.cnblogs.com/zjq182/p/16610476.html

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