赌博问题设\(X_i\)为第\(i\)轮赌博后的收益。根据常识，显然有\(E(X_i)=X_0=0\)离散时间鞅定义一组离散时间鞅为时间离散的随机过程\(\{X_0,X_1,X_2,...\}\)，满足对于任意\(n\)，都有\(|E(X_n)|<+\infty\)，即取值是有限的。\(E(X_{n+1}-X_n|X_0,X_1,...,X_n)=0\)，意思

鞅与停时计数题的小技巧，也许以后会更详细学一学，目前参考价值不高。直接看题目。例题：一共有\(n\timesm\)张卡，\(n\)种，每种各\(m\)个。手中维持有\(m\)张，知道初始的时候每一种牌有\(a_i\)个，每次随机一张扔掉，并且在牌堆中随机抽一张，然后把扔掉的牌插入牌堆。问多少次之

好高妙！大致思想是给每个局面构造一个势能函数\(F(a_1,a_2,\ldots,a_n)\)，使得\(\sumE(F(a'_1,a'_2,\ldots,a'_n))-E(F(a_1,a_2,\ldots,n))=-1\)，其中\(a'\)取遍\(a\)的后继状态。这样我们就能直接用终态的势能函数减去初始态的势能函数计算期望，即答案为\(E(S)

鞅与停时定理，一个很厉害的东西，感觉像是一种势能分析。关于它具体是什么，笔者的数学水平还不足以讲述，所以在这里推广一下：概率论科技：鞅与停时定理-littleZ_meow的小窝。下面的写法可能很不专业，请自行避雷。给出一种很OI的解释：你需要设计一个函数\(f(x)\)，有次能够得到每一个