如何找到 Cech 复合体在 1 维上具有持久同源性但 Vietoris Rips 复合体没有的点集？

我尝试解决的练习：

“找到一个点集，使得 Cech 复合体在 1 维上具有持久同源性，而 Vietoris Rips 复合体则没有。通过计算两个复合物的持久同源性来验证您的解决方案。“

这可能吗？据我所知，这两个复合体在欧几里得子空间上重合。我可以改变云的度量，但这感觉就像作弊。我想使用 Gudhi 库解决这个问题。

你说的对，在一个度量空间中，给定相同的点集和半径，Vietoris-Rips 复合体和 Čech 复合体的 1-骨架总是相同的。这是因为这两个复合体 1-骨架的边都是由两个距离小于给定半径的点决定的。

因此，不可能有一个在维度 1 上的 Vietoris-Rips 复合体没有持久同源性的点集，而在维度 1 上的 Čech 复合体有持久同源性。

你可能是误解了练习题的意图，或者练习题本身就是有问题的。

以下是一些可能的解释： * 练习题可能希望你找到一个点集，其 Čech 复合体在 更高维度 （而非维度 1）上具有持久同源性，而其 Vietoris-Rips 复合体没有。这是有可能的，因为在更高的维度上，这两个复合体的结构可能不同。 * 练习题可能希望你考虑 不同的度量空间 ，而不是欧几里得空间。在不同的度量空间中，即使在维度 1 上，这两个复合体也可能不同。 * 练习题可能仅仅是为了测试你对这两个概念的理解，并希望你认识到它们在维度 1 上的等价性。

如果你能提供更多关于练习题来源的信息，我可能可以给出更具体的答案。

无论如何，使用 Gudhi 库来计算不同点集和不同半径下的 Čech 复合体和 Vietoris-Rips 复合体的持久同源性是一个很好的练习。这可以帮助你更好地理解这两个概念之间的区别和联系。