图论相关问题

A. P2662 牛场围栏

同余最短路的板题，会了就没什么。见这篇。

B. P4211 [LNOI2014] LCA

感觉离线处理的技巧得多加磨练。

这题的暴力显然就是 \(O(nm)\) 或 \(O(nm\log n)\)，暴力枚举 \([l,r]\) 和 \(z\) 的 LCA 的 \(\text{dep}\) 值，计算即可。

那么正解要么就是一次求出多个 LCA，要么就是把 \(\text{dep}\) 进行某种神奇的转化。

前者不太可做，后者还是可以想想的。

考虑将 \(\text{dep}_x\) 转化为 \(x\) 到根节点的节点个数。于是查询 \(\text{dep}_{\operatorname{LCA}(u,v)}\) 就可以转化为：将 \(u\) 到根节点的路径上的点权值 \(+1\)，然后查询 \(v\) 到根节点的路径上的权值和。那么对于多个点也是同理的。

区间加、区间查，不是树剖还能是什么？不过我们不能直接暴力区间加和区间查，那样复杂度还是 \(O(nm\log n)\) 的。发现我们是要将 \([l,r]\) 的节点全部区间加，进而想到差分，也就是把 \(l-1\) 和 \(r\) 单拎出来，一个删一个加。

但是这样貌似无法做到在线维护了，考虑离线。把一次询问拆成一个 \([0,l-1]\) 和一个 \([0,r]\)，全搞到一个结构体里面按照节点排序，然后扫一遍，用一个指针把区间加更新到当前点的位置，然后再判断当前点的种类，如果是要删的点就从答案中减去，否则加到答案上。

主要难点在于转化，以及想到差分。能把这种问题差分以及离线处理的思想是需要练习的。

struct Ask{
	int id,pos,z,k;
	bool operator<(const Ask&x)const{
		return pos<x.pos;
	}
}q[MAXN<<1];
ll ans[MAXN];

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=2,f;i<=n;++i){
		f=read()+1;
		addedge(f,i),addedge(i,f);
	}
	dfs(1,0);
	dfs2(1,1);
	for(int i=1,l,r,z;i<=m;++i){
		l=read()+1,r=read()+1,z=read()+1;
		q[(i<<1)-1]={i,l-1,z,-1};
		q[i<<1]={i,r,z,1};
	}
	sort(q+1,q+(m<<1|1));
	for(int i=1,j=1;i<=m<<1;++i){
		while(j<=q[i].pos) qadd(1,j++,1);
		if(~q[i].k) ans[q[i].id]+=qsum(1,q[i].z);
		else ans[q[i].id]-=qsum(1,q[i].z);
	}
	for(int i=1;i<=m;++i) write(ans[i]%MOD);
	return fw,0;
}

C. P1852 跳跳棋

神仙建模题，充分彰显了人类智慧。

设三点从小到大为 \(x,y,z\)，则不论怎么跳都有且只有两种情况：

• \(y\) 向两边跳
• \(x\) 或 \(z\) 向中间跳

前者可以无限跳，但后者只能跳有限次数！因为一旦 \(\text{dis}(x,y)=\text{dis}(y,z)\)，那么 \(x\) 和 \(z\) 都不能再向中间跳了，否则不合法。

反之，由 \(\text{dis}(x,y)=\text{dis}(y,z)\) 这种状态可以导出无限多种状态，这不由得我们考虑将这个状态设为一棵树的根节点，那么别的状态都是它的子孙。为了方便，我们将这个状态定义为 “初始状态”。

试着推广我们这个构想，对于任何一种状态，都能导出无限的状态，设其中两种分别为 \(a,b\)，那么从 \(a\) 变到 \(b\) 的最少步数是不是就是它们在这棵树上先变到它们的 LCA，再从 LCA 变到另外一种状态？

有没有一种茅厕顿开的感觉！

别急，我们一步一步走。现在我们已经成功地将其转化为一个树上问题，还有几个问题亟待解决。首先，思考如何判断两个点之间不可达。其实是容易的，我们只要找到两个状态的初始状态，如果它们的初始状态不同，那么他俩就是不可达的。

但是又引出另外一个问题：如何找初始状态？值域在 \(10^9\)，显然是不能暴力搜的。不过我们可以试着想，就算这三个数是 \(1,2,10^9\) 这种变态，我们实际上也可以一步转移，因为把 \(x,y,z\) 这种状态翻转到 \(y,x,z\) 这种状态时，\(x,y\) 两点间距离不变，事实上从相对位置来看可以看作直接平移。所以刚才那个变态最终转移到 \(10^9-2,10^9-1,10^9\) 我们实际上一步就能算出是走了 \(\left\lfloor\dfrac{\text{dis}(y,z)-1}{\text{dis}(x,y)}\right\rfloor\) 步，\(-1\) 是为了防止最后出现两点重合的情况。至此我们找到初始状态的复杂度应该就是 \(\log\) 级别了。

到这里，我们应该就能很快地判断出两个状态可不可达。接下来的任务是找出两个可达的点的最小步数。

显然，我们应该找两点的 LCA。但是显然什么倍增树剖都没法用，注意到刚才我们找初始状态的那个过程是可以限制步数的，所以我们应该可以通过找每一个状态向上跳父亲的次数来找 LCA，因为找到 LCA 之后再往上跳必定是相同节点，具有单调性。所以二分步数即可。注意在此之前应当先将 \(a,b\) 中较深的一个跳到和另外一个同样深，然后再执行二分。最后的答案就是二分出的答案 \(\times2\) 再加上较深的那个点预先跳的步数。

捋一下思路：先找到 \(a,b\) 状态各自的初始状态，同时记录跳的步数。如果初始状态不同直接 NO；否则，将步数比较大的那一个先跳到和另外一个相同，然后二分找出两点的 LCA，最后答案如同上文统计即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Node{
	int x,y,z;
	bool operator!=(const Node&b)const{
		return x!=b.x||y!=b.y||z!=b.z;
	}
	void read(){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		if(x>y) swap(x,y);
		if(x>z) swap(x,z);
		if(y>z) swap(y,z);
	}
}a,b;

Node getrt(Node t,int s,int&step){
	int k=0;
	for(step=0;s;step+=k){
		int d1=t.y-t.x,d2=t.z-t.y;
		if(d1==d2) return t;
		else if(d1>d2){
			k=min((d1-1)/d2,s);
			t.y-=k*d2,t.z-=k*d2;
			s-=k;
		}else{
			k=min((d2-1)/d1,s);
			t.x+=k*d1,t.y+=k*d1;
			s-=k;
		}
	}
	return t;
}

int main(){
	a.read(),b.read();
	int sa,sb,tmp; // a到根距离，b到根距离 
	Node rta=getrt(a,2e9,sa),rtb=getrt(b,2e9,sb);
	if(rta!=rtb) return puts("NO"),0;
	if(sa<sb) swap(sa,sb),swap(a,b);
	a=getrt(a,sa-sb,tmp);
	int l=0,r=sb,ans=l;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(getrt(a,mid,tmp)!=getrt(b,mid,tmp)) l=mid+1;
		else ans=mid<<1,r=mid-1;
	}
	printf("YES\n%d\n",ans+sa-sb);
	return 0;
}

E. CF507E Breaking Good

在几乎摸到正解的时候看了题解，他妈的。

最短路是肯定的，考虑找到最优路径。显然我们找到的最短路好边越多越好，在题解区看到了一种简洁的证明方法：

受影响的道路等于最短路上的坏边数和不在最短路上的好边数。设最短路上有 \(x\) 条好边和 \(y\) 条坏边，一共有 \(s\) 条好边，则受影响的道路总数为 \(s-x+y\) 条。又因为最短路上的坏边数等于 \(d-x\)，其中 \(d\) 是最短路长度，所以最终受影响的边数就是 \(s-x+d-x=s+d-2x\) 条。

\(s\) 固定，\(d\) 也固定，变量只有 \(x\)。那么显然 \(x\) 越大越好。

于是我们在最短路的时候以路径长度为第一关键字、好边数为第二关键字进行比较即可。需要用一个 \(\text{pre}\) 数组记录路径，跑完最短路时重新扫一下路径，如果最短路上有坏边记录答案，好边可以用一个 set 维护，遇到好边就从 set 里擦掉。

挺简单的。

G. CF125E MST Company

感觉如果用破圈的话这题的标签应该有 \(\textbf{implementation}\)，但貌似官方认可二分做法？

首先去掉 \(1\) 号点跑最小生成森林。设连出来的连通块个数为 \(x\)，则若 \(k<x\)，必然无解。

然后加入 \(1\) 号点向每个连通块连边权尽量小的边，这样就得到了一棵强制 \(x\) 度最小生成树。

然后不断地尝试把与 \(1\) 号点相连却没有进入最小生成树的边加入。每加入这样一条边，就需要删除由此所产生的环上的一条不与 \(1\) 相连的边。贪心地，我们应该删除边权最大的那一条。因为 \(n,k\le5000\)，所以找这条边可以 \(O(n)\) 算，跑一遍 DFS 就行。

重复上面的过程，直到最终得到一棵强制 \(k\) 度最小生成树。

代码实现的主要难点在于如何找到加边所产生的环。其实仔细想想不难，因为我们已经得到了一棵树，所以我们可以依次遍历 \(1\) 节点的子树，计算出 \(\text{mx}(u)\) 表示 \(u\) 到 \(1\) 的路径上边权最大的边。向一棵子树多连一条边后，环肯定出现在这条边所连向的那个点到 \(1\) 节点的路径上，所以我们就找到了它。

H. CF1707C DFS Trees

诈骗题。

题目的切入点首先应该是由边权各不相同推出 MST 唯一，处理出 MST 上的边。然后注意到这段伪代码：

if vis[v] = false
    add edge (u, v) into the set (s)
    dfs(v)

这三句的意思是，只要一个点没有走过，就会去走这个点，并把这条边加入最小生成树。这样的走法显然是盲目的，如果从一个点出发经过了不是 MST 上的边，那么这个伪代码求出的最小生成树就错了。

于是问题转化为，如何判定从一个点出发会不会走到非树边上。

容易发现的是，若一条非树边的两个端点为 \(u,v\)，设 \(\text{dep}(u)\ge\text{dep}(v)\)，若 \(\operatorname{LCA}(u,v)\ne v\)，则除了 \(u\) 和 \(v\) 的子树以外的点都不合法，因为它们只能从上面走到 \(u\) 和 \(v\) 中的一个，然后就会去走那条非树边。同理，若 \(\operatorname{LCA}(u,v)=v\)，也就是说 \(v\) 是 \(u\) 的祖先，那么树上从 \(v\) 到 \(u\) 的链上的点为根的子树的点都不合法，因为这些点依然只能先走到 \(u\) 和 \(v\) 中的一个，然后通过非树边走另外一个。

\(u\) 和 \(v\) 本身是一定合法的，因为它们初始时就把自己走过了。

于是考虑给这些不合法的点加上一个权值，最后统计没有权值的点的个数。可以用树剖或树上差分解决。

I. CF1051F The Shortest Statement

初看题目怀疑自己，一看题解想骂自己，调完代码想笑自己。

突破口就是题目所给的 \(m-n\le20\)。让我们充分动用人类智慧，想到如果把这个图搞成一棵生成树，那么多出来的非树边顶多 21 条。再仔细想想，就可以把原图的最短路分成两种情况：

• 只经过树边的；
• 经过至少一条非树边的。

前者直接在生成树上跑 LCA 就可以 \(O(\log n)\) 地计算，后者只需以所有非树边的端点为原点跑 Dijkstra 就可以 \(O(42m\log m)\) 预处理 + \(O(42)\) 扫一遍查询。每一组询问对所有情况取 \(\min\) 即可。这题做完了。

是不是觉得很简单，你可能十分钟就把生成树板子 + LCA 板子 + Dijkstra 板子码完了，但是这题有意思的地方才刚刚开始。下文仅是个人用 2.5h 调代码过程中的一些心得。

• 首先，处理生成树的时候，必须把 \(\boldsymbol m\) 条边全部扫完，而不是加够了 \(\boldsymbol{n-1}\) 条边就跳出。否则你会漏掉某些非树边并过不去第二个样例。

• 其次，我用 \(\text{vis}\) 数组处理非树边端点，切记不要和 Dijkstra 的 \(\text{vis}\) 数组搞混，尽管没有样例能测出来这个错误。

• 最后划重点，我把 \(42\) 个非树边的端点，每个点建立了一个结构体存储 \(\text{dis}\) 数组和 \(\text{Dijkstra}\) 函数，然后存到了一个 \(\tt vector\) 里面。但我最开始在每组询问遍历这个 \(\tt vector\) 的时候写的是：

  \[\texttt{for(auto x:V)} \]

  此时对奇技淫巧非常熟悉的同学可能就发现了华点：没错，这样写等于每次都要把这个结构体给 \(x\) 拷一遍，直接让你 TLE 到飞起。况且由于这样写等于在 main 函数内部开了一个 1e5 的数组，会直接 MLE！
  正确的写法是：

  \[\texttt{for(auto& x:V)} \]

  话说奇技淫巧好像是我写的

• 最后，链式前向星在这道题就是比邻接表快。

下课。