【9.7】树结构-实现 Trie (前缀树)

一、题目

Trie（发音类似 "try"）或者说 前缀树 是一种树形数据结构，用于高效地存储和检索字符串数据集中的键。这一数据结构有相当多的应用情景，例如自动补全和拼写检查。

请你实现 Trie 类：

• Trie() 初始化前缀树对象。
• void insert(String word) 向前缀树中插入字符串 word 。
• boolean search(String word) 如果字符串 word 在前缀树中，返回 true（即，在检索之前已经插入）；否则，返回 false 。
• boolean startsWith(String prefix) 如果之前已经插入的字符串 word 的前缀之一为 prefix ，返回 true ；否则，返回 false 。

示例：

输入
["Trie", "insert", "search", "search", "startsWith", "insert", "search"]
[[], ["apple"], ["apple"], ["app"], ["app"], ["app"], ["app"]]
输出
[null, null, true, false, true, null, true]

解释
Trie trie = new Trie();
trie.insert("apple");
trie.search("apple");   // 返回 True
trie.search("app");     // 返回 False
trie.startsWith("app"); // 返回 True
trie.insert("app");
trie.search("app");     // 返回 True

提示：

• 1 <= word.length, prefix.length <= 2000
• word 和 prefix 仅由小写英文字母组成
• insert、search 和 startsWith 调用次数 总计 不超过 3 * 10^4 次

二、解题思路

        Trie树，又称字典树，其工作原理类似于查字典的过程。举个例子，如果我们要查找单词“wo”，首先需要定位到字母“w”，然后再找到字母“o”。从结构上看，Trie树可以理解为一棵多叉树，每个节点最多可以拥有多个子节点。在本题中，由于单词和前缀仅由小写英文字母组成，而小写字母共有26个，因此Trie树可以被视为一棵26叉树。下图展示了这种结构的具体形式。

        Trie树的结构从一个空的根节点开始，根节点本身并不存储任何具体的值。从根节点出发，可以延伸出最多26个子节点，每个子节点又可以进一步扩展出最多26个子节点，以此类推。以字符串为例，假设我们有以下几个字符串：

        - "ac"
        - "bcd"
        - "ace"
        - "ef"

        它们在Trie树中的存储方式如下：

                1. 从根节点出发，字符串“ac”会沿着路径 `a -> c` 存储。
                2. 字符串“bcd”会沿着路径 `b -> c -> d` 存储。
                3. 字符串“ace”会沿着路径 `a -> c -> e` 存储。
                4. 字符串“ef”会沿着路径 `e -> f` 存储。

        通过这种方式，Trie树能够高效地存储和检索字符串，同时共享相同的前缀以减少空间占用。

        然而，这里存在一个问题：虽然我们没有明确存储字符串“bc”，但上面的Trie树中却包含了“bc”这一路径。此外，路径中还包含了“a”、“b”、“e”等字符。实际上，这些字符并不是一个完整的字符串，而是我们存储的某些字符串的前缀。那么，如何区分一个路径是否代表一个完整的字符串呢？为了解决这个问题，我们需要对字符串的最后一个字符进行特殊标记，表示这是一个完整字符串的结束。具体实现方式如下图所示。

        如上图所示，字符串“bc”并不是一个完整的字符串，因为它的最后一个字符“c”没有被标记为结束节点。至于如何标记一个字符串的结束，可以根据具体需求来设计。在这里，我们使用一个布尔类型的变量来进行标记，表示某个节点是否为某个字符串的结尾。

        需要注意的是，这里的节点类并没有直接存储单个字符的值。我们通过判断某个子节点是否为空，来推断对应的字符是否存在。例如，如果我们想查找字符“a”，由于“a”对应的是26个子节点中的第一个节点，我们只需要检查第一个子节点是否为空即可。如果该子节点为空，说明字符“a”不存在；反之，则说明字符“a”存在。

三、代码实现

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

// Trie 节点类
class TrieNode {
public:
    TrieNode* children[26]; // 26 个子节点，对应 26 个小写字母
    bool isWord; // 标记是否为完整单词的结尾

    TrieNode() {
        for (int i = 0; i < 26; i++) {
            children[i] = nullptr;
        }
        isWord = false;
    }
};

// Trie 类
class Trie {
private:
    TrieNode* root; // 根节点

public:
    Trie() {
        root = new TrieNode();
    }

    // 插入字符串
    void insert(string word) {
        TrieNode* parentNode = root;
        for (char ch : word) {
            int index = ch - 'a'; // 计算字符对应的索引
            if (parentNode->children[index] == nullptr) {
                parentNode->children[index] = new TrieNode(); // 如果子节点不存在，则创建
            }
            parentNode = parentNode->children[index]; // 更新父节点
        }
        parentNode->isWord = true; // 标记为完整单词
    }

    // 查找是否是一个完整的字符串
    bool search(string word) {
        TrieNode* node = find(word);
        return node != nullptr && node->isWord;
    }

    // 判断是否有以 prefix 为前缀的字符串
    bool startsWith(string prefix) {
        return find(prefix) != nullptr;
    }

private:
    // 查找字符串对应的节点
    TrieNode* find(string str) {
        TrieNode* parentNode = root;
        for (char ch : str) {
            int index = ch - 'a';
            if (parentNode->children[index] == nullptr) {
                return nullptr; // 如果某个字符不存在，返回 nullptr
            }
            parentNode = parentNode->children[index]; // 更新父节点
        }
        return parentNode; // 返回最后一个字符对应的节点
    }
};

// 测试代码
int main() {
    Trie trie;
    trie.insert("apple");
    cout << "Search 'apple': " << (trie.search("apple") ? "Found" : "Not Found") << endl; // 输出: Found
    cout << "Search 'app': " << (trie.search("app") ? "Found" : "Not Found") << endl; // 输出: Not Found
    cout << "Starts with 'app': " << (trie.startsWith("app") ? "Yes" : "No") << endl; // 输出: Yes

    trie.insert("app");
    cout << "Search 'app': " << (trie.search("app") ? "Found" : "Not Found") << endl; // 输出: Found

    return 0;
}