信号与系统——冲激偶信号概念及其性质

时间：2025-01-14 14:29:03浏览次数：3

标签：抽样推导概念冲激信号筛选性质

上篇部分会给大家介绍一下冲激偶信号的概念及其性质

下篇部分会对部分性质进行推导证明，进一步加深印象，掌握好方法，相信小伙伴们在考场上忘记了性质也能够自行推导出来

一、冲激偶信号概念及其性质

$\delta '(t) = \frac{{d\delta (t)}}{{dt}}$

即对冲激信号进行求导。

其中

$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\delta '(t)dt} = 0$

$\int_{ - {t_0}}^0 {\delta '(t)dt} = \infty$

$\int_0^{{t_0}} {\delta '(t)dt} = - \infty$

其图像为（是无限接近0时刻的上下两个冲激信号，但不能单纯的认为就是上下的两个冲激信号）：

性质汇总

性质	内容
奇偶性	奇函数（odd） $\delta '(t) = - \delta '( - t)$ ${\delta ^{\left( n \right)}}( - t) = {\left( { - 1} \right)^n}{\delta ^{\left( n \right)}}(t)$
抽样（筛选）性	$f(t)\delta '(t) = f(0)\delta '(t) - f'(0)\delta (t)$ $f(t)\delta '(t - {t_0}) = f({t_0})\delta '(t - {t_0}) - f'({t_0})\delta (t - {t_0})$
抽样（筛选）性	$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t)\delta '(t)dt} = - f'(0)$ $\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t)\delta '(t - {t_0})dt} = - f'({t_0})$ $\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t){\delta ^{\left( n \right)}}(t)dt} = {( - 1)^n}{f^{\left( n \right)}}(0)$
尺度变换	$\delta '(at) = \frac{1}{{\left\| a \right\|}}\frac{1}{a}\delta '(t)$ $\delta '(at + b) = \frac{1}{{\left\| a \right\|}}\frac{1}{a}\delta '(t + \frac{b}{a})$ ${\delta ^{\left( n \right)}}(at) = \frac{1}{{\left\| a \right\|}}\frac{1}{{{a^n}}}{\delta ^{\left( n \right)}}(t)$
二阶复合函数	$\delta \left( {f(t)} \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{\left\| {f'({t_i})} \right\|}}} \delta (t - {t_i})$ 其中 $i$ 代表使得 $f({t_i}) = 0$ 的个数

二、部分性质推导

1、抽样（筛选）性质

$f(t)\delta '(t) = f(0)\delta '(t) - f'(0)\delta (t)$

证明

$\left[ {f(t)\delta (t)} \right]' = f'(t)\delta (t) + f(t)\delta '(t) = f'(0)\delta (t) + f(t)\delta '(t)$

∵ $f(t)\delta (t) = f(0)\delta (t)$

∴ $\left[ {f(t)\delta (t)} \right]' = \left[ {f(0)\delta (t)} \right]' = f(0)\delta '(t)$

∴ $f(0)\delta '(t) = f'(0)\delta (t) + f(t)\delta '(t)$

即

$f(t)\delta '(t) = f(0)\delta '(t) - f'(0)\delta (t)$

得证。

2、抽样（筛选）性质

$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t)\delta '(t)dt} = - f'(0)$

这里需要利用分部积分法，这里补充一下分部积分法的知识点

$\int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx}$

证明

$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t)\delta '(t)dt} = f(t)\delta (t)\left| {_{ - \infty }^\infty } \right. - \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f'(t)\delta (t)dt} = - f'(0)$

得证。

【预告：下一篇给大家总结冲激序列的概念及其性质】

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标签：抽样,推导,概念,冲激,信号,筛选,性质
From： https://blog.csdn.net/weixin_45837796/article/details/145137667

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