1.热应力计算原理
工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运动副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或温度应力，因此，减少或控制热变形/温度应力是设计中不可忽视的问题。
工程设计中，常期望准确地计算出结构各个部位的温升或热变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计或环境设计，减少热变形对工作精度的影响。
1.1 温度场问题的基本方程
一般三维问题，物体各点的温度是坐标和时间变化的，即
热平衡原理：任一dt时间内，物体内任一微元体所积蓄的热量(即温度升高所需的热量)等于传入该微元体的热量与微元体内热源所产生的热量之和，即
设微元在dt内，温度升高为：
相应所积蓄的热量为：
同一时间内，微元体沿x方向传入和传出的热量之差，即净热量为：
类似，y，z方向的净热量：
即传入微元体的净热量为：
由热传导定律：热流密度与温度梯度成正比，而方向相反，即：
代入上式得传入微元体净热量为：
设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在dt内所共给的热量为
据热平衡得一般热传导微分方程：
整理得：
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式
满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温度场，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。
初始条件是指物体最初的温度分布情况，称为第一类边界条件。
同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律，即边界条件，称为第二类边界条件。
对流换热条件
如果边界上的换热条件不随时间变化，物体内部的热源也不随时间变化，在经过一定时间的热交换后，物体内各点温度也将不随时间变化，即
这类问题称为稳态(Steady state)热传导问题。稳态热传导问题并不是温度场不随时间的变化，而是指温度分布稳定后的状态，我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态过渡到最后的稳定温度场。随时间变化的瞬态(Transient)热传导方程就退化为稳态热传导方程，三维问题的稳态热传导方程为
对于各向同性的材料，可以得到以下的方程，称为Poisson方程
考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的温度场满足Laplace方程
在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度场计算的一个难点。
1、三维瞬态热传导方程及边界条件
2、二维稳态热传导方程及边界条件
1.2变分原理与有限元
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瞬态热传导问题变分泛函为
-
稳态问题，温度不随时间变化
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泛函的变分取驻值，可得控制方程和第二类和第三类边界条件
第一类边界条件应强制满足，称为本质边界条件；
第二、第三类边界条件是自然边界条件。
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将单元矩阵组合后，得到物体的总体矩阵，对泛函变分取极值，即
得有限元方程组
[KT]称为热传导矩阵，[C]为热容矩阵，{RT}为等效节点温度载荷列阵。
-
对稳态问题，上述方程是线性的，热传导方程是对称正定的，求解类方法似于结构分析。
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对瞬态问题，需采用有限差分法，将{T} i离散，或采用显式时间积分，如中心差分，或采用隐式时间积分，如Newmark差分。
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对线性瞬态问题，还可采用结构分析中的模态迭加法首先求特征问题
每个特征向量
相对于[C]正则化，即
令
是模态矩阵，它的每一列是正则化的特征向量{T} i
可将节点温度表示为广义温度{Z}的关系
将其代入有限元方程，并左乘
得到n个解耦的方程组
积分上述方程组后，得{Z(t)}，由此可得到节点{T(t)}。
1.3平面稳态温度场的有限元法
1、平面稳态温度场的泛函
求满足平面温度场方程及边界条件的温度场T(x,y),设k为常数
据变分原理，此问题等价于求泛函J[T(x,y)]的极值函数，参考相关教材，可得上述热传导作为欧拉方程的相应泛函：
2、温度场单元分析
图示求解域离散为若干三角形单元，含有边界的单元，称为边界单元，任取一个单元i,j,k,如图。
A、温度插值函数
在边界线(如ij)上的任一点的温度T，可用两个端点的节点温度线性插值表示：
B、单元温度刚度矩阵
从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上，即求温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际已成为描述未知节点温度的多元函数，而不是温度场T(x,y)的函数，即问题转化为求多元函数的极值
设求解域有n个节点温度未知量，则泛函J[T(x,y)]转化为
的形式，极值条件为：
设单元只有三节点温度，jk为边界，将温度插值函数代入前述的泛函，并求导得极值条件：
上式第一部分为内部单元的温度刚阵：
对于内部单元的温度刚阵，i,j,k三点轮换，记为矩阵形式：
第二部分：
记为矩阵形式：
两部分相加可得边界单元的温度刚阵：
3、整体温度场方程
为n个线性方程组，对于每个方程而言，是对绕节点m的所有单元求和，如图，节点5，则绕节点5的单元为1，2，3，而其它单元不含节点5，即它们的泛函对
的偏导为0，可不考虑，即
如单元1，3为边界单元，则按边界单元刚阵计算；如单元2为内部单元，则按内部单元刚阵计算。如此整理可得整体代数方程组：
对于其他带热源的稳态温度场或三维温度场计算其方法相似。
1.4 热变形的计算
• 当弹性体的温度改变时，体内各部分将随温度变化而产生变形，这种变形常称为热变形。考虑到弹性体实际工作中都受到外界和体内各个部分间的约束，故热变形往往不能自由发生，从而将导致体内产生应力，这种应力常称为热应力。与之对应的温度的改变常称为热载荷。
• 设二维平面问题的弹性体两个瞬时的温度变化为
材料的线膨胀系数为，a对各向同性材料，热膨胀只产生正应变，不伴随产生剪应变。即
• 若将物体由热变形产生的应变可视为物体的初应变，则计算热应力只需算出热变形引起的初应变，求得相应初应变引起的等效节点载荷（温度等效节点载荷），然后按通常求解刚度方程计算出节点位移即可。
• 设热变形引起的初应变：
• 则考虑初应变情况的弹性方程(如平面应力问题)：
• 应力方程：
• 对比不考虑初应变的应力方程：
• 刚度方程：
2.高温环境的模拟方法
2.1 热传递的方式
（1）热传导
对于温度梯度造成的同一物体的不相同的区域之间又或者是两个不相同的物体之间通过完全接触的方式而产生能量的转换称为热传导，公式为：
（2）热对流
热对流是指固体的表面与它周围接触的流体之间，由于温差的存在引起的热量的交换。用方程可描述为：
（3）热辐射
热辐射指物体发射电磁能，并被其它物体吸收转变为热的热量交换过程。在工程中通常考虑两个或两个以上物体之间的辐射，它们之间的净热量传递可以用斯蒂芬—波尔兹曼方程来计算：
2.2 高温模拟方法
高温中结构节点不仅要承受与常温下相同的力载荷,还受到高温产生的热作用,且二者相互耦合,因此需要对其进行耦合场分析。根据相互耦合物理场的特性耦合场分析可分为两大类:直接耦合和顺序耦合。直接耦合法只包含一个分析,它使用包含多场自由度的耦合单元,通过计算包含所需物理量的单元矩阵或载荷向量的方式进行耦合。直接耦合法主要适用于多个物理场各自的响应互相依赖的情况。由于平衡状态要满足多个准则才能取得,直接耦合分析往往是非线性的,且每个节点的自由度越多,矩阵方程就越庞大,对计算资源的要求也越高。顺序耦合法包括两个或多个按一定顺序排列的分析,每一种属于某一物理场分析,通过将前一个分析的结果作为载荷施加到后一个分析中的方式进行耦合。顺序耦合主要用于物理场之间单向的耦合关系,该方法一般来说比直接耦合方法效率高,且无需特殊的单元类型。因此，工程中常采用顺序耦合分析方法。
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