Olha and Igor

题目链接。

Problem

给定一个高度为 \(h\) 的完美二叉树（恰好有 \(n = 2^h-1\) 个节点）。

你可以进行以下询问至多 \(n+420\) 次。

• 选择三个互不相同的点 \(u,v,w\)，你需要保证 \(1\leq u,v,w\leq n\)。
• 交互库会返回当以 \(w\) 为根时 \(u\) 与 \(v\) 的 lca。

你需要向交互库回答根的编号。

数据范围：\(3 \le h \le 18\)。

Sol

先想想不要询问次数限制怎么做。显然可以枚举点 \(w\)。然后随机 \(u, v\) 把它们变成 lca。最后判断根节点的度数即可 。但这是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 次询问。发现 \(h\) 竟然 \(\ge 3\)，甚至是完全二叉树！。不妨一些限制更弱的、较随机做法。发现 \((u, v, w)\) 得到点 \(x\) 是使得 \(d(u, x) + d(v, x) + d(w, x)\) 最小的 \(x\)。回答为点 \(u\) 的方案数为 \((s_1+1)(s_2 + 1)(s_3 + 1)\)，其中 \(s_1, s_2, s_3\) 表示点 \(u\) 的三棵子树的大小。随机 \(420\) 次 \((u, v, w)\)。然后得到概率最大的一定是根的左右儿子。这个东西在 \(n=18\) 时，正确概率为 \(18\%\)。所以随机出来的概率还是很大的。最后直接枚举根 \(x\)，看 \((u, v, x)\) 的回答是不是 \(x\) 即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
mt19937_64 orz(time(0) ^ clock());
int rnd(int l, int r) { return orz() % (r - l + 1) + l; }
int h;
int Ask(int u, int v, int w) {
	printf("? %d %d %d\n", u, v, w);
	fflush(stdout);
	int res;
	scanf("%d", &res);
	return res;
}
void Ans(int x) { printf("! %d\n", x); fflush(stdout); }
pii buc[1000005];
int main() {
	cin >> h;
	int n = (1 << h) - 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) buc[i].second = i;
	for (int i = 1; i <= 422; ++i) {
		int u = rnd(1, n), v = rnd(1, n), w = rnd(1, n);
		while (u == v) v = rnd(1, n);
		while (w == u || w == v) w = rnd(1, n);
		int ret = Ask(u, v, w);
		++buc[ret].first;
	}
	sort(buc + 1, buc + n + 1, greater<pii>());
	int u = buc[1].second, v = buc[2].second;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (i == u || i == v) continue;
		int ret = Ask(u, v, i);
		if (ret == i) return Ans(i), 0;
	}
	return 0;
}