几何分布是一种离散型概率分布，在概率论与数理统计中具有重要地位。以下为你详细介绍：
1. 定义与背景
- 假设进行一系列独立重复试验，每次试验只有两个相互对立的结果（如成功或失败），且每次试验成功的概率均为\(p（0 < p < 1）\)，失败的概率为\(1 - p\)。几何分布用于描述在首次取得成功之前，所经历的失败次数X的概率分布。
2. 概率公式
- 随机变量X服从几何分布，其概率质量函数为\(P(X = k) = (1 - p)^{k}p\)，其中\(k = 0, 1, 2, \cdots\)。这里\(k\)表示首次成功之前失败的次数，每次试验失败的概率为\(1 - p\)，经过\(k\)次失败后，第\(k + 1\)次试验成功，成功概率为\(p\) 。
3. 特点
- 无记忆性：这是几何分布的一个重要特性。若X服从几何分布，对于任意正整数m和n，有\(P(X > m + n | X > m) = P(X > n)\)。例如，在抛硬币试验中，假设正面朝上为成功（概率\(p = 0.5\)），如果已经连续抛了5次都是反面（即前5次失败），那么从第6次开始，到首次出现正面还需要抛3次及以上的概率，与从第1次开始抛，到首次出现正面需要抛3次及以上的概率是一样的。即之前的失败次数不会影响后续首次成功所需的次数的概率分布。
- 独立重复试验：每次试验之间相互独立，每次试验成功的概率p保持不变。就像投篮，每次投篮是否命中不受之前投篮结果的影响，且每次投篮命中的概率（在理想情况下）是固定的。
4. 期望与方差
- 期望：\(E(X)=\frac{1 - p}{p}\)。例如，在抽奖活动中，每次抽奖中奖概率\(p = 0.1\)，那么平均需要抽奖\(\frac{1 - 0.1}{0.1}=9\)次才能中奖。
- 方差：\(D(X)=\frac{1 - p}{p^{2}}\)。方差反映了随机变量取值的离散程度，在几何分布中，方差与成功概率\(p\)的平方成反比，与\(1 - p\)成正比。
5. 应用场景
- 产品抽样检验：在对产品进行逐件检验时，若产品合格为成功，不合格为失败，可利用几何分布计算在首次抽到合格产品之前，已经检验出的不合格产品数量的概率分布。例如，某生产线生产的产品合格率为\(0.95\)，那么在首次抽到合格产品之前，抽到\(k\)个不合格产品的概率就可以用几何分布来计算。
- 游戏通关问题：在游戏中，假设玩家每次挑战关卡成功的概率固定，几何分布可用于分析玩家在首次通关之前尝试的次数。例如，某玩家挑战某一关卡的成功率为\(0.2\)，通过几何分布可以计算出该玩家在首次通关前尝试不同次数的概率，帮助玩家评估自己可能需要尝试的次数。