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利用二次曲线的不变量来快速确认曲线类型

时间:2024-12-27 12:27:46浏览次数:5  
标签:11 begin 曲线 end 变量 22 boldsymbol 二次曲线 12

前言

《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》这篇文章中,我们介绍了如何利用转轴和移轴矩阵来化简平面上的二次型曲线,从而确定曲线的类型,形状和位置。一个很自然的问题是,我们是否有办法不通过转轴移轴,而是直接通过二次曲线方程的系数,来判断曲线的类型和形状。解决这个问题的思路是,如果我们能找到一些以二次曲线方程系数为变量的函数,这些函数在转轴和移轴下,函数值不变,那么我们就能通过这些函数确定变换前后曲线方程系数之间的关系,进而通过原方程的系数直接来判断曲线的类型和形状。本文将介绍这个方法。

(下文将沿用《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》这篇文章中的记号和定义)


二次曲线的不变量

沿着上面的思路,我们首先定义不变量:

F ( x , y ) = a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0 F(x,y)=a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0 F(x,y)=a11​x2+2a12​xy+a22​y2+2a1​x+2a2​y+a0​=0是平面上的一个二次曲线。设 f f f是二次曲线方程系数 a 11 , a 22 , a 12 , a 1 , a 2 , a 0 a_{11},a_{22},a_{12},a_{1},a_{2},a_{0} a11​,a22​,a12​,a1​,a2​,a0​的函数,若 f f f在任意直角坐标变换下的函数值不变,则称 f f f是二次曲线的(正交)不变量。

根据二次曲线的定义,我们接下来证明下面的命题:

对二次曲线 a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0 a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0 a11​x2+2a12​xy+a22​y2+2a1​x+2a2​y+a0​=0,构造如下系数函数:
I 1 = f 1 ( a 11 , a 22 ) = a 11 + a 22 = t r ( Ω ) I 2 = f 2 ( a 11 , a 22 , a 12 ) = ∣ a 11 a 12 a 12 a 22 ∣ = ∣ Ω ∣ I 3 = f 3 ( a 11 , a 22 , a 12 , a 1 , a 2 , a 0 ) = ∣ a 11 a 12 a 1 a 12 a 22 a 2 a 1 a 2 a 0 ∣ = ∣ Ω κ κ T a 0 ∣ I_1=f_{1}(a_{11},a_{22})=a_{11}+a_{22}=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\Omega})\\ I_2=f_{2}(a_{11},a_{22},a_{12})=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=|\boldsymbol{\Omega}|\\ I_3=f_{3}(a_{11},a_{22},a_{12},a_1,a_2,a_0)=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_1\\ a_{12} & a_{22} & a_2\\ a_1 & a_2 &a_0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa}^{\mathrm{T}} & a_0 \end{vmatrix} I1​=f1​(a11​,a22​)=a11​+a22​=tr(Ω)I2​=f2​(a11​,a22​,a12​)= ​a11​a12​​a12​a22​​ ​=∣Ω∣I3​=f3​(a11​,a22​,a12​,a1​,a2​,a0​)= ​a11​a12​a1​​a12​a22​a2​​a1​a2​a0​​ ​= ​ΩκT​κa0​​
则 I 1 , I 2 , I 3 I_1, I_2, I_3 I1​,I2​,I3​都是二次曲线的不变量。

要证明上述命题,我们需要分两步进行,先证明它们是在转轴下的不变量,再证明它们在移轴下也是不变量。

转轴情况下的证明

根据《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》这篇文章中的结论,对二次曲线做任意转轴

ζ = T ζ ′ \begin{equation} \boldsymbol{\zeta}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{\zeta'} \end{equation} ζ=Tζ′​​

转轴后的曲线方程为:

( ζ ′ T , 1 ) ( T T Ω T T T κ κ T T a 0 ) ( ζ ′ 1 ) = 0 \begin{equation} (\boldsymbol{\zeta'}^{\mathrm{T}},1) \begin{pmatrix} \boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{T} & \boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{T} & a_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\zeta'} \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{equation} (ζ′T,1)(TTΩTκTT​TTκa0​​)(ζ′1​)=0​​

记转轴后的方程 ( 2 ) (2) (2)的系数函数分别为 I 1 ′ , I 2 ′ , I 3 ′ I'_{1}, I'_{2}, I'_{3} I1′​,I2′​,I3′​。 I 1 ′ I'_{1} I1′​恰好是二次项系数矩阵 T T Ω T \boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{T} TTΩT的迹,根据迹的交换律,我们可以得到:

I 1 ′ = a 11 ′ + a 22 ′ = t r ( T T Ω T ) = t r ( T T T Ω ) = t r ( Ω ) = a 11 + a 22 = I 1 \begin{equation} I'_{1}=a'_{11}+a'_{22}=\mathrm{tr}(\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{T})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{T}\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\Omega})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\Omega})= a_{11}+a_{22}=I_{1} \end{equation} I1′​=a11′​+a22′​=tr(TTΩT)=tr(TTTΩ)=tr(Ω)=a11​+a22​=I1​​​

因此我们证明了 I 1 I_1 I1​在转轴下不变。

由于 T \boldsymbol{T} T是正交矩阵,因此 ∣ T ∣ = 1 |\boldsymbol{T}|=1 ∣T∣=1,因此对于 I 2 ′ I'_2 I2′​有:

I 2 ′ = ∣ T T Ω T ∣ = ∣ T T ∣ ∣ Ω ∣ ∣ T ∣ = ∣ Ω ∣ = I 2 \begin{equation} I'_2=|\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{T}|=|\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}}||\boldsymbol{\Omega}||\boldsymbol{T}|=|\boldsymbol{\Omega}|=I_2 \end{equation} I2′​=∣TTΩT∣=∣TT∣∣Ω∣∣T∣=∣Ω∣=I2​​​

因此 I 2 I_2 I2​在转轴下不变。

对于 I 3 ′ I'_3 I3′​有:

I 3 ′ = ∣ T T Ω T T T κ κ T T a 0 ∣ = ∣ ( T T 0 0 1 ) ( Ω κ κ T a 0 ) ( T 0 0 1 ) ∣ = ∣ T T ∣ I 3 ∣ T ∣ = I 3 \begin{equation} I'_3= \begin{vmatrix} \boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{T} & \boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{T} & a_0 \end{vmatrix}=\left|\begin{pmatrix} \boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} & \bold{0} \\ \bold{0} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} & a_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{T} & \bold{0} \\ \bold{0} & 1\end{pmatrix} \right|=|\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}}|I_3|\boldsymbol{T}|=I_3 \end{equation} I3′​= ​TTΩTκTT​TTκa0​​ ​= ​(TT0​01​)(ΩκT​κa0​​)(T0​01​) ​=∣TT∣I3​∣T∣=I3​​​

因此 I 3 I_3 I3​在转轴下也不变。

综合上我们证明了, I 1 , I 2 , I 3 I_{1}, I_{2}, I_{3} I1​,I2​,I3​在任意转轴下的值都不变

移轴情况下的证明

对二次曲线做任意移轴 ζ = ζ ′ ′ + ζ ∗ , ζ ∗ = ( x ∗ , y ∗ ) T \boldsymbol{\zeta}= \boldsymbol{\zeta''}+ \boldsymbol{\zeta^*}, \boldsymbol{\zeta^*}=(x^*,y^*)^{\mathrm{T}} ζ=ζ′′+ζ∗,ζ∗=(x∗,y∗)T,则移轴后二次曲线方程为:

a 11 ( x ′ ′ + x ∗ ) 2 + 2 a 12 ( x ′ ′ + x ∗ ) ( y ′ ′ + y ∗ ) + a 22 ( y ′ ′ + y ∗ ) 2 + 2 a 1 ( x ′ ′ + x ∗ ) + 2 a 2 ( y ′ ′ + y ∗ ) + a 0 = 0 \begin{equation} a_{11}(x''+x^*)^2+2a_{12}(x''+x^*)(y''+y^*)+a_{22}(y''+y^*)^2+2a_1(x''+x^*)+2a_2(y''+y^*)+a_0=0 \end{equation} a11​(x′′+x∗)2+2a12​(x′′+x∗)(y′′+y∗)+a22​(y′′+y∗)2+2a1​(x′′+x∗)+2a2​(y′′+y∗)+a0​=0​​

容易发现上式的二次项系数仍然是 a 11 , a 12 , a 22 a_{11},a_{12},a_{22} a11​,a12​,a22​,因此 I 1 , I 2 I_{1}, I_{2} I1​,I2​在转轴下保持不变。将上式改写成为矩阵的形式:

  a 11 ( x ′ ′ + x ∗ ) 2 + 2 a 12 ( x ′ ′ + x ∗ ) ( y ′ ′ + y ∗ ) + a 22 ( y ′ ′ + y ∗ ) 2 + 2 a 1 ( x ′ ′ + x ∗ ) + 2 a 2 ( y ′ ′ + y ∗ ) + a 0 = ( ζ ′ ′ + ζ ∗ ) T Ω ( ζ ′ ′ + ζ ∗ ) + 2 κ T ( ζ ′ ′ + ζ ∗ ) + a 0 = ζ ′ ′ T Ω ζ ′ ′ + ζ ′ ′ T Ω ζ ∗ + ζ ∗ T Ω ζ ′ ′ + ζ ∗ T Ω ζ ∗ + 2 κ T ζ ′ ′ + 2 κ T ζ ∗ + a 0 = ζ ′ ′ T Ω ζ ′ ′ + ζ ∗ T Ω ζ ′ ′ + ζ ∗ T Ω ζ ′ ′ + ζ ∗ T Ω ζ ∗ + 2 κ T ζ ′ ′ + 2 κ T ζ ∗ + a 0 = ζ ′ ′ T Ω ζ ′ ′ + 2 ( ζ ∗ T Ω + κ T ) ζ ′ ′ + ( ζ ∗ T Ω ζ ∗ + 2 κ T ζ ∗ + a 0 ) \begin{equation} \begin{align} & \quad \space a_{11}(x''+x^*)^2+2a_{12}(x''+x^*)(y''+y^*)+a_{22}(y''+y^*)^2+2a_1(x''+x^*)+2a_2(y''+y^*)+a_0\nonumber \\ &=(\boldsymbol{\zeta''}+ \boldsymbol{\zeta^*})^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{\zeta''}+ \boldsymbol{\zeta^*})+2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}}(\boldsymbol{\zeta''}+ \boldsymbol{\zeta^*})+a_0\nonumber \\ &= \boldsymbol{\zeta''}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta''} + \boldsymbol{\zeta''}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta^*} + \boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta''} + \boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta^*} + 2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\zeta''} + 2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\zeta^*}+a_0 \nonumber \\ &= \boldsymbol{\zeta''}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta''} + \boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta''} + \boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta''} + \boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta^*} + 2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\zeta''} + 2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\zeta^*}+a_0 \nonumber \\ &= \boldsymbol{\zeta''}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta''} +2(\boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega}+\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}})\boldsymbol{\zeta''}+(\boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta^*} + 2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\zeta^*}+a_0)\nonumber \\ \end{align} \end{equation} ​ a11​(x′′+x∗)2+2a12​(x′′+x∗)(y′′+y∗)+a22​(y′′+y∗)2+2a1​(x′′+x∗)+2a2​(y′′+y∗)+a0​=(ζ′′+ζ∗)TΩ(ζ′′+ζ∗)+2κT(ζ′′+ζ∗)+a0​=ζ′′TΩζ′′+ζ′′TΩζ∗+ζ∗TΩζ′′+ζ∗TΩζ∗+2κTζ′′+2κTζ∗+a0​=ζ′′TΩζ′′+ζ∗TΩζ′′+ζ∗TΩζ′′+ζ∗TΩζ∗+2κTζ′′+2κTζ∗+a0​=ζ′′TΩζ′′+2(ζ∗TΩ+κT)ζ′′+(ζ∗TΩζ∗+2κTζ∗+a0​)​​​​

根据 ( 7 ) (7) (7)式,得到移轴后的 I 3 ′ ′ I''_3 I3′′​:

I 3 ′ = ∣ Ω Ω ζ ∗ + κ ζ ∗ T Ω + κ T ζ ∗ T Ω ζ ∗ + 2 κ T ζ ∗ + a 0 ∣ = ∣ ( I 0 ζ ∗ T 1 ) ( Ω κ κ T a 0 ) ( I ζ ∗ 0 1 ) ∣ = I 3 \begin{equation} I'_3= \begin{vmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta^*} +\boldsymbol{\kappa } \\ \boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega}+\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} & \boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{\zeta^*} + 2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\zeta^*}+a_0 \end{vmatrix}= \left|\begin{pmatrix} \boldsymbol{I} & \bold{0} \\ \boldsymbol{\zeta^*}^{\mathrm{T}} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} & a_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{\zeta^*} \\ \bold{0} & 1\end{pmatrix} \right|=I_3 \end{equation} I3′​= ​Ωζ∗TΩ+κT​Ωζ∗+κζ∗TΩζ∗+2κTζ∗+a0​​ ​= ​(Iζ∗T​01​)(ΩκT​κa0​​)(I0​ζ∗1​) ​=I3​​​

因此 I 3 I_3 I3​在转轴下也不变

综上,我们证明了 I 1 , I 2 , I 3 I_{1}, I_{2}, I_{3} I1​,I2​,I3​都是二次曲线的不变量


二次曲线的半不变量

根据《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》这篇文章中的定义, I 3 I_3 I3​是多项式 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)的系数矩阵 C = ( Ω κ κ T a 0 ) \boldsymbol{C}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa}^{\mathrm{T}} & a_0 \end{pmatrix} C=(ΩκT​κa0​​)的行列式,而 I 2 I_2 I2​恰好是 I 3 I_3 I3​的一个二阶主子式 A ( 1 2 1 2 ) \bold{A}\begin{pmatrix} 1& 2 \\ 1 & 2\end{pmatrix} A(11​22​),它恰好也是二次曲线的不变量。对于 I 3 I_3 I3​的另外两个二阶主子式 A ( 1 3 1 3 ) = ∣ a 11 a 1 a 1 a 0 ∣ \bold{A}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_1 \\ a_1 & a_0 \end{vmatrix} A(11​33​)= ​a11​a1​​a1​a0​​ ​以及 A ( 2 3 2 3 ) = ∣ a 22 a 2 a 2 a 0 ∣ \bold{A}\begin{pmatrix} 2& 3 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=\begin{vmatrix} a_{22} & a_2 \\ a_2 & a_0 \end{vmatrix} A(22​33​)= ​a22​a2​​a2​a0​​ ​,它们在转轴与移轴中会发生什么变化?事实上,我们有如下命题:

对二次曲线 a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0 a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0 a11​x2+2a12​xy+a22​y2+2a1​x+2a2​y+a0​=0,定义K_1为 I 3 I_3 I3​除了 I 2 I_2 I2​剩下另外两个二阶主子式的和:
K 1 = A ( 1 3 1 3 ) + A ( 2 3 2 3 ) = ∣ a 11 a 1 a 1 a 0 ∣ + ∣ a 22 a 2 a 2 a 0 ∣ K_1=\bold{A}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix}+\bold{A}\begin{pmatrix} 2& 3 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_1 \\ a_1 & a_0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{22} & a_2 \\ a_2 & a_0 \end{vmatrix} K1​=A(11​33​)+A(22​33​)= ​a11​a1​​a1​a0​​ ​+ ​a22​a2​​a2​a0​​
则称 K 1 K_1 K1​为二次曲线的半不变量,其在转轴下不变;且对于 I 2 = I 3 = 0 I_2=I_3=0 I2​=I3​=0的二次曲线, K 1 K_1 K1​在移轴下也不变。

同样,我们分别在转轴和移轴情况下进行证明。

转轴情况下的证明

同样对二次曲线做任意转轴 ζ = T ζ ′ \boldsymbol{\zeta}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{\zeta'} ζ=Tζ′,得到 ( 2 ) (2) (2)式,此时 κ ′ = T T κ \boldsymbol{\kappa}'=\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\kappa} κ′=TTκ。写出转轴后曲线的半不变量:

K 1 ′ = ∣ a 11 ′ a 1 ′ a 1 ′ a 0 ∣ + ∣ a 22 ′ a 2 ′ a 2 ′ a 0 ∣ = ( a 11 ′ + a 22 ′ ) a 0 − ( a 1 ′ 2 + a 2 ′ 2 ) = I 1 ′ a 0 − κ ′ T κ ′ = I 1 a 0 − ( T T κ ) T ( T T κ ) = I 1 a 0 − κ T T T T κ = I 1 a 0 − ( a 1 2 + a 2 2 ) = K 1 \begin{equation} \begin{align} K'_1&=\begin{vmatrix} a'_{11} & a'_1 \\ a'_1 & a_0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a'_{22} & a'_2 \\ a'_2 & a_0 \end{vmatrix}\nonumber \\ &=(a'_{11} +a'_{22})a_0-(a'^2_1+a'^2_2) \nonumber \\ &=I'_1a_0-\boldsymbol{\kappa}'^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\kappa}'\nonumber \\ &= I_1a_0-(\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\kappa})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\kappa}) \nonumber \\ &= I_1a_0-\boldsymbol{\kappa}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{T}\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\kappa}\nonumber \\ &= I_1a_0-(a^2_1+a^2_2)=K_1\nonumber \\ \end{align} \end{equation} K1′​​= ​a11′​a1′​​a1′​a0​​ ​+ ​a22′​a2′​​a2′​a0​​ ​=(a11′​+a22′​)a0​−(a1′2​+a2′2​)=I1′​a0​−κ′Tκ′=I1​a0​−(TTκ)T(TTκ)=I1​a0​−κTTTTκ=I1​a0​−(a12​+a22​)=K1​​​​​

因此 K 1 K_1 K1​在转轴下不变

对于 I 2 = I 3 = 0 I_2=I_3=0 I2​=I3​=0的二次曲线在移轴情况下的证明

由 I 2 = 0 I_2=0 I2​=0,得到 a 11 a 22 = a 12 2 a_{11}a_{22}=a^2_{12} a11​a22​=a122​。由二次曲线的定义, a 11 a_{11} a11​与 a 22 a_{22} a22​至少有一个不为零,不妨设 a 22 ≠ 0 a_{22}\neq 0 a22​=0。若 a 11 , a 12 a_{11},a_{12} a11​,a12​都不为零,两边除以 a 12 , a 22 a_{12}, a_{22} a12​,a22​得到:

a 11 a 12 = a 12 a 22 = k ≠ 0 \begin{equation} \dfrac{a_{11}}{a_{12}}=\dfrac{a_{12}}{a_{22}}=k\neq 0 \end{equation} a12​a11​​=a22​a12​​=k=0​​

此时 I 3 I_3 I3​可以写为

I 3 = ∣ a 11 a 12 a 1 a 12 a 22 a 2 a 1 a 2 a 0 ∣ = ∣ k a 12 k a 22 a 1 a 12 a 22 a 2 a 1 a 2 a 0 ∣ = ∣ 0 0 a 1 − k a 2 a 12 a 22 a 2 a 1 a 2 a 0 ∣ = ( a 1 − k a 2 ) ∣ k a 22 a 22 a 1 a 2 ∣ = ( a 1 − k a 2 ) ∣ 0 a 22 a 1 − k a 2 a 2 ∣ = − a 22 ( a 1 − k a 2 ) 2 = 0 \begin{equation} \begin{align} I_3&=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_1 \\ a_{12} & a_{22} & a_2 \\ a_1 & a_2 & a_0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} ka_{12} & ka_{22} & a_1 \\ a_{12} & a_{22} & a_2 \\ a_1 & a_2 & a_0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 & a_1-ka_2 \\ a_{12} & a_{22} & a_2 \\ a_1 & a_2 & a_0 \end{vmatrix} \nonumber \\ &=(a_1-ka_2)\begin{vmatrix} ka_{22} &a_{22} \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} =(a_1-ka_2)\begin{vmatrix} 0 &a_{22} \\ a_1-ka_2 & a_2 \end{vmatrix} \nonumber \\ &=-a_{22}(a_1-ka_2)^2 =0\nonumber \\ \end{align} \end{equation} I3​​= ​a11​a12​a1​​a12​a22​a2​​a1​a2​a0​​ ​= ​ka12​a12​a1​​ka22​a22​a2​​a1​a2​a0​​ ​= ​0a12​a1​​0a22​a2​​a1​−ka2​a2​a0​​ ​=(a1​−ka2​) ​ka22​a1​​a22​a2​​ ​=(a1​−ka2​) ​0a1​−ka2​​a22​a2​​ ​=−a22​(a1​−ka2​)2=0​​​​

因为 I 3 = 0 I_3=0 I3​=0且 a 22 ≠ 0 a_{22}\neq 0 a22​=0,所以 a 1 − k a 2 = 0 a_1-ka_2=0 a1​−ka2​=0,结合 ( 10 ) (10) (10)式有:

a 11 a 12 = a 12 a 22 = a 1 a 2 = k ≠ 0 \begin{equation} \dfrac{a_{11}}{a_{12}}=\dfrac{a_{12}}{a_{22}}=\dfrac{a_{1}}{a_{2}}=k\neq 0 \end{equation} a12​a11​​=a22​a12​​=a2​a1​​=k=0​​

对二次曲线做任意移轴 ζ = ζ ′ ′ + ζ ∗ \boldsymbol{\zeta}= \boldsymbol{\zeta''}+ \boldsymbol{\zeta^*} ζ=ζ′′+ζ∗,根据 ( 6 ) (6) (6)式写出 A ( 1 3 1 3 ) \bold{A}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix} A(11​33​):

A ( 1 3 1 3 ) = ∣ a 11 ′ ′ a 1 ′ ′ a 1 ′ ′ a 0 ′ ′ ∣ = ∣ a 11 a 11 x ∗ + a 12 y ∗ + a 1 a 11 x ∗ + a 12 y ∗ + a 1 a 11 x ∗ 2 + 2 a 12 x ∗ y ∗ + a 22 y ∗ 2 + 2 a 1 x ∗ + 2 a 2 y ∗ + a 0 ∣ = ∣ a 11 a 12 y ∗ + a 1 a 11 x ∗ + a 12 y ∗ + a 1 a 12 x ∗ y ∗ + a 22 y ∗ 2 + a 1 x ∗ + 2 a 2 y ∗ + a 0 ∣ = ∣ a 11 a 12 y ∗ + a 1 a 12 y ∗ + a 1 a 22 y ∗ 2 + 2 a 2 y ∗ + a 0 ∣ \begin{equation} \begin{align} \bold{A}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix} &=\begin{vmatrix} a''_{11} & a''_1 \\ a''_1 & a''_0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{11}x^*+a_{12}y^*+a_1 \\ a_{11}x^*+a_{12}y^*+a_1& a_{11}{x^{*}}^{2}+2a_{12}x^*y^*+a_{22}{y^{*}}^{2}+2a_1x^*+2a_2y^*+a_0 \end{vmatrix} \nonumber \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12}y^*+a_1 \\ a_{11}x^*+a_{12}y^*+a_1 & a_{12}x^*y^*+a_{22}{y^{*}}^{2}+a_1x^*+2a_2y^*+a_0 \end{vmatrix} \nonumber \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12}y^*+a_1 \\ a_{12}y^*+a_1 & a_{22}{y^{*}}^{2}+2a_2y^*+a_0 \end{vmatrix} \nonumber \\ \end{align} \end{equation} A(11​33​)​= ​a11′′​a1′′​​a1′′​a0′′​​ ​= ​a11​a11​x∗+a12​y∗+a1​​a11​x∗+a12​y∗+a1​a11​x∗2+2a12​x∗y∗+a22​y∗2+2a1​x∗+2a2​y∗+a0​​ ​= ​a11​a11​x∗+a12​y∗+a1​​a12​y∗+a1​a12​x∗y∗+a22​y∗2+a1​x∗+2a2​y∗+a0​​ ​= ​a11​a12​y∗+a1​​a12​y∗+a1​a22​y∗2+2a2​y∗+a0​​ ​​​​​

将 ( 12 ) (12) (12)式代入上式,我们得到:

A ( 1 3 1 3 ) = ∣ a 11 a 11 k y ∗ + a 1 a 11 k y ∗ + a 1 a 11 k 2 y ∗ 2 + 2 a 1 k y ∗ + a 0 ∣ = ∣ a 11 a 1 a 11 k y ∗ + a 1 a 1 k y ∗ + a 0 ∣ = ∣ a 11 a 1 a 1 a 0 ∣ \begin{equation} \begin{align} \bold{A}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix} &=\begin{vmatrix} a_{11} &\dfrac{a_{11}}{k}y^*+a_1 \\ \dfrac{a_{11}}{k}y^*+a_1 & \dfrac{a_{11}}{k^2}{y^{*}}^{2}+2\dfrac{a_{1}}{k}y^*+a_0 \end{vmatrix} \nonumber \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_1 \\ \dfrac{a_{11}}{k}y^*+a_1 & \dfrac{a_{1}}{k}y^*+a_0 \end{vmatrix} \nonumber \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_1 \\ a_1 & a_0 \end{vmatrix} \nonumber \\ \end{align} \end{equation} A(11​33​)​= ​a11​ka11​​y∗+a1​​ka11​​y∗+a1​k2a11​​y∗2+2ka1​​y∗+a0​​ ​= ​a11​ka11​​y∗+a1​​a1​ka1​​y∗+a0​​ ​= ​a11​a1​​a1​a0​​ ​​​​​

由 ( 14 ) (14) (14)式我们证得, A ( 1 3 1 3 ) \bold{A}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix} A(11​33​)在 a 11 , a 12 a_{11},a_{12} a11​,a12​都不为零时不变。

若 a 11 , a 12 a_{11},a_{12} a11​,a12​都为零,则 I 3 I_3 I3​可以写为:

I 3 = ∣ 0 0 a 1 0 a 22 a 2 a 1 a 2 a 0 ∣ = − a 1 2 a 22 = 0 \begin{equation} I_3=\begin{vmatrix}0 & 0 & a_1 \\ 0 & a_{22} & a_2 \\ a_1 & a_2 & a_0 \end{vmatrix} =-a^2_{1}a_{22}=0 \end{equation} I3​= ​00a1​​0a22​a2​​a1​a2​a0​​ ​=−a12​a22​=0​​

因此 a 1 a_1 a1​=0,代入 ( 13 ) (13) (13)式,我们得到 A ( 1 3 1 3 ) \bold{A}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix} A(11​33​)仍然不变:

A ( 1 3 1 3 ) = ∣ 0 0 0 a 22 y ∗ 2 + 2 a 2 y ∗ + a 0 ∣ = 0 = ∣ a 11 a 1 a 1 a 0 ∣ \begin{equation} \begin{align} \bold{A}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix} &=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 &a_{22}{y^{*}}^{2}+2a_2y^*+a_0 \end{vmatrix} =0=\begin{vmatrix} a_{11} & a_1 \\ a_1 & a_0 \end{vmatrix}\nonumber \\ \end{align} \end{equation} A(11​33​)​= ​00​0a22​y∗2+2a2​y∗+a0​​ ​=0= ​a11​a1​​a1​a0​​ ​​​​​

因此,我们证得,在 I 2 = I 3 = 0 I_2=I_3=0 I2​=I3​=0时,移轴后 I 3 I_3 I3​的二阶主子式 A ( 1 3 1 3 ) \bold{A}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix} A(11​33​)不变。用上面同样的方法我们可以证得二阶主子式 A ( 2 3 2 3 ) \bold{A}\begin{pmatrix} 2& 3 \\ 2 & 3\end{pmatrix} A(22​33​)同样不变。综上,我们证明了命题: K 1 K_1 K1​在转轴下不变;且对于 I 2 = I 3 = 0 I_2=I_3=0 I2​=I3​=0的二次曲线, K 1 K_1 K1​在移轴下也不变。


利用二次曲线的不变量和半不变量确定曲线类型

现在我们可以利用二次曲线的不变量和半不变量来确定曲线类型和形状了。假设二次曲线最终通过转轴和移轴变成了最简形式,那么
根据文章《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》中的讨论结果,会有以下几种情况。

1. 椭圆型和双曲型曲线

此时曲线的方程可以写为 a 11 ′ x ′ ′ 2 + a 22 ′ y ′ ′ 2 + c = 0 a'_{11}{x''}^2+a'_{22}{y''}^2+c=0 a11′​x′′2+a22′​y′′2+c=0。由于 I 1 , I 2 , I 3 I_1, I_2, I_3 I1​,I2​,I3​是不变量,因此有

I 1 = a 11 ′ + a 22 ′ I 2 = ∣ a 11 ′ 0 0 a 22 ′ ∣ = a 11 ′ a 22 ′ I 3 = ∣ a 11 ′ 0 0 0 a 22 ′ 0 0 0 c ∣ = c I 2 \begin{align}I_1 &= a'_{11}+a'_{22} \\ I_2&=\begin{vmatrix} a'_{11} & 0 \\ 0 & a'_{22}\end{vmatrix}=a'_{11}a'_{22} \\ I_3&=\begin{vmatrix} a'_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a'_{22} & 0 \\ 0 & 0 & c\end{vmatrix}=cI_2 \end{align} I1​I2​I3​​=a11′​+a22′​= ​a11′​0​0a22′​​ ​=a11′​a22′​= ​a11′​00​0a22′​0​00c​ ​=cI2​​​

1. 当 I 2 > 0 I_2>0 I2​>0时,曲线是椭圆型,此时若 I 3 I_3 I3​与 I 1 I_1 I1​异号,则曲线是个椭圆;若 I 3 I_3 I3​与 I 1 I_1 I1​同号,则曲线是个虚椭圆;若 I 3 I_3 I3​=0,曲线退化为一个点。
2. 当 I 2 < 0 I_2<0 I2​<0时,曲线是双曲型,,此时若 I 3 ≠ 0 I_3\neq 0 I3​=0,则曲线是个双曲线;若 I 3 = 0 I_3=0 I3​=0,则曲线是一对交叉直线。

2. 抛物型曲线

若 I 2 = 0 I_2=0 I2​=0,则曲线是抛物型曲线。不妨设 a 22 ′ ≠ 0 a'_{22}\neq 0 a22′​=0。若曲线是抛物线,此时方程可以写为 a 22 ′ y ′ ′ 2 + 2 a 1 ′ x ′ ′ = 0 a'_{22}{y''}^2+2a'_1x''=0 a22′​y′′2+2a1′​x′′=0,此时有:

I 1 = a 22 ′ I 2 = ∣ 0 0 0 a 22 ′ ∣ = 0 I 3 = ∣ 0 0 a 1 ′ 0 a 22 ′ 0 a 1 ′ 0 0 ∣ = − a 1 2 a 22 ′ = − I 1 a 1 2 \begin{align}I_1 &= a'_{22} \\ I_2&=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & a'_{22}\end{vmatrix}=0 \\ I_3&=\begin{vmatrix} 0 & 0 & a'_1\\ 0 & a'_{22} & 0 \\ a'_1 & 0 & 0\end{vmatrix}=-a_1^2a'_{22}=-I_1a_1^2 \end{align} I1​I2​I3​​=a22′​= ​00​0a22′​​ ​=0= ​00a1′​​0a22′​0​a1′​00​ ​=−a12​a22′​=−I1​a12​​​

若 I 3 = 0 I_3=0 I3​=0 ,此时方程可以写为 a 22 ′ y ′ ′ 2 + c = 0 a'_{22}{y''}^2+c=0 a22′​y′′2+c=0,则有

I 1 = a 22 ′ I 2 = ∣ 0 0 0 a 22 ′ ∣ = 0 I 3 = ∣ 0 0 0 0 a 22 ′ 0 0 0 c ∣ = 0 \begin{align}I_1 &= a'_{22} \\ I_2&=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & a'_{22}\end{vmatrix}=0 \\ I_3&=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & a'_{22} & 0 \\ 0 & 0 & c\end{vmatrix}=0 \end{align} I1​I2​I3​​=a22′​= ​00​0a22′​​ ​=0= ​000​0a22′​0​00c​ ​=0​​

K 1 K_1 K1​在这种情况下也是不变量,因此有

K 1 = ∣ 0 0 0 0 ∣ + ∣ a 22 ′ 0 0 c ∣ = c I 1 K_1=\begin{vmatrix}0 & 0\\0&0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'_{22} & 0\\0&c \end{vmatrix}=cI_{1} K1​= ​00​00​ ​+ ​a22′​0​0c​ ​=cI1​

综上有:

1. 当 I 2 = 0 , I 3 ≠ 0 I_2=0, I_3 \neq 0 I2​=0,I3​=0时,曲线是一个抛物线。
2. 当 I 2 = I 3 = 0 I_2=I_3=0 I2​=I3​=0时,曲线是一对直线,此时若 K 1 < 0 K_1< 0 K1​<0,则曲线是一对平行直线;若 K 1 > 0 K_1> 0 K1​>0,则曲线是一对虚平行直线;若 K 1 = 0 K_1=0 K1​=0,则曲线是一对重合直线。

标签:11,begin,曲线,end,变量,22,boldsymbol,二次曲线,12
From: https://blog.csdn.net/Derekqiao1986/article/details/144740819

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