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正交活动标架与自然标架的关系
注意到
( E F F G ) = ( r u r v ) ( r u , r v ) = A ( e 1 e 2 ) ( e 1 , e 2 ) A ′ = A A ′ \begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}(r_u,r_v)=A\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}(e_1,e_2)A^{\prime}=AA^{\prime} (EFFG)=(rurv)(ru,rv)=A(e1e2)(e1,e2)A′=AA′
所以 A A A可逆。
注意到 r u ∧ r v = det A ( e 1 ∧ e 2 ) r_u\wedge r_v=\det A(e_1\wedge e_2) ru∧rv=detA(e1∧e2)
所以当 e 3 = n e_3=n e3=n时， det A = E G − F 2 \det A=\sqrt{EG-F^2} detA=EG−F2 ;
当 e 3 = − n e_3=-n e3=−n 时， det A = − E G − F 2 \det A=-\sqrt{EG-F^2} detA=−EG−F2 。
又因为 ( w 1 , w 2 ) = ( d u , d v ) A (w_1,w_2)=(du,dv)A (w1,w2)=(du,dv)A,
所以 ( w 1 , w 2 ) (w_1,w_2) (w1,w2)和 ( d u , d v ) (du,dv) (du,dv)可以互相线性表示。
注意到 w i j w_{ij} wij 都是一阶微分形式，所以可以用 ( d u , d v ) (du,dv) (du,dv)线性表示，故可以用 ( w 1 , w 2 ) (w_1,w_2) (w1,w2)线性表示。
所以存在二阶方阵 B = ( h i j ) B=(h_{ij}) B=(hij)使得 ( w 13 , w 23 ) = ( w 1 , w 2 ) B (w_{13},w_{23})=(w_1,w_2)B (w13,w23)=(w1,w2)B。
则当 e 3 = n e_3=n e3=n时，第二基本形
Π = ( w 13 , w 23 ) ( w 1 w 2 ) = ( w 1 , w 2 ) B ( w 1 w 2 ) = ( d u , d v ) A B A ′ ( d u d v ) \Pi=(w_{13},w_{23})\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=(w_1,w_2)B\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=(du,dv)ABA^{\prime}\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix} Π=(w13,w23)(w1w2)=(w1,w2)B(w1w2)=(du,dv)ABA′(dudv)
于是
( L M M N ) = A B A ′ \begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}=ABA^{\prime} (LMMN)=ABA′
从而 B B B是对称矩阵，即 B ′ = B B^{\prime}=B B′=B。(当 e 3 = − n e_3=-n e3=−n时， B B B也是对称的)
性质1
当 e 3 = n e_3=n e3=n时，矩阵 B B B的特征值是主曲率，行列式是Gauss曲率， 1 2 \frac 12 21tr B B B是平均曲率。
证：
Weingarten变换在自然基下的系数矩阵为
(
A
B
A
′
)
(
A
A
′
)
−
1
=
A
B
A
−
1
(ABA^{\prime})(AA^{\prime})^{-1}=ABA^{-1}
(ABA′)(AA′)−1=ABA−1,与
B
B
B相似。相似变换不改变矩阵的特征值、行列式、迹。
性质2
B B B是Weingarten在基 ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) (e1,e2)下的系数矩阵。特别地，若 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2是主方向，则主曲率 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2使得
w 13 = k 1 e 1 , w 23 = k 2 e 2 w_{13}=k_1e_1,w_{23}=k_2e_2 w13=k1e1,w23=k2e2
证：
( r u r v ) = A ( e 1 e 2 ) ⇒ ( e 1 e 2 ) = A − 1 ( r u r v ) \begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix} (rurv)=A(e1e2)⇒(e1e2)=A−1(rurv)
则
W ( e 1 e 2 ) = A − 1 W ( r u r v ) = A − 1 A B A − 1 ( r u r v ) = B ( e 1 e 2 ) W\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}=A^{-1}W\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}=A^{-1}ABA^{-1}\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix} W(e1e2)=A−1W(rurv)=A−1ABA−1(rurv)=B(e1e2)
标签：标架,begin,end,ABA,自然,正交,pmatrix,e1,e2 From： https://blog.csdn.net/weixin_73404807/article/details/144520543