第一章_函数极限

映射和函数

• 映射定义：
  • \(\mathrm{D}_\mathrm{f}\)=X，每个X集合元素有对应像与之对应(\(\mathrm{R}_\mathrm{f}\) C Y)

• 一个x的像对应一个y，一个y的原像对应多个x(为什么是像，因为作用域关系f中)
• 总结：定义域中所有的原像都有唯一的像，但是Y集合中不是所有的的元素都有像
• 特殊映射（\(\mathrm{R}_\mathrm{f}\)是值域可写F(x)，\(\mathrm{D}_\mathrm{f}\)为定义域也可写X）
  • 映射\(\mathrm{R}_\mathrm{f} =Y\)(即整个Y域)，都有对应的原像，那么有f为X到Y的映射或称满射（注意是整个Y集合都有对应的原像）
  • 单射：y的原像唯一但是域不是整个Y
  • 双射/一一射：上面两个满足，（即定义域是整个X值域是整个Y，且都是唯一）举例：Y=X
  • 逆映射：关系g \(\mathrm{R}_\mathrm{f}\) -> X，推出逆映射一定是双射
    • 推理：逆映射为双射

总结：以前不知道怎么学知识，不够细，不知道XY域和定义域值域的关系，映射对应是所有X集合中，将X看作集合，集合Y不一定与之对应

数列极限

定义：

• 对于数列{\(\mathrm{x}_\mathrm{n}\)}，存在常数a使得对于任意给定正数\(\varepsilon\)(很小)，总存在正数N，使得当n>N时，不等式
  |\(\mathrm{x}_\mathrm{n}\)-a|<\(\varepsilon\) 成立，那么a就是数列的极限，或者说数列收敛于a，

• 无极限就是数列发散，
  总结： 数列无限靠近某个值

收敛数列的性质：

• 数列收敛极限唯一，参考高等数学（上）P23
• 数列收敛那么数列有界
• 保号性质：极限为正（负），\(\mathrm{x}_\mathrm{n}\)为正（负），反向推理成立
• 数列与子列的关系：
  • 数列收敛与a，其子列也收敛与a
  • 子列收敛，数列不一定收敛
  • 子列发散数列一定发散

函数极限

定义：

• 和数列极限差不多
• 存在常数A，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) （不论多么小），总存在正数\(\delta\) ，使得当x满足不等式 0<|x- \(\mathrm{x}_\mathrm{0}\) |< \(\delta\) 时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|< \(\delta\) ,那么A就是函数f(x)的极限x->\(\mathrm{x}_\mathrm{0}\) 时的极限，记作

\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\)f(x)=A
或者f(x)->A(当x->-\(\mathrm{x}_\mathrm{0}\))

• 这里的\(\varepsilon\)，\(\delta\)
  • \(\varepsilon\)限制的是值域
  • \(\delta\)限制的是定义域
  • 证明只需要由值域转换为定义域

极限存在条件

• 左极限和极限存在，且相等\(f（x^-）\) = \(f(x^+)\)