QEM 顶点二次度量的优化

理论

QEM（Quadric Error Metrics，四元数误差度量）是一种常用的网格简化技术，它通过计算几何代价来评估边的简化。通过使用 QEM，您可以在简化过程中保留重要的几何特性。

边折叠的基本思想

在 QEM 中，边折叠的目的是将两个顶点合并成一个新顶点，以减少网格的复杂性。每条边都有一个代价（即误差度量），这个代价通常是基于如何保持网格特征的原始形状和细节。边的折叠会改变网格的几何结构，因此需要重新计算与其相关的度量。

计算二次度量

1. 原始度量定义：
   QEM 为每个顶点维持一个四维度量矩阵（4x4 矩阵），用于表示折叠过程中对几何的误差。这一度量是从与每个顶点相邻的每个面导出的。

2. 从面导出度量：
   对于每个面 FF，可以计算其四元数误差的二次形式：

   QF=NF⋅NFT⋅AFQF​=NF​⋅NFT​⋅AF​

   其中，NFNF​ 是面的法向量，AFAF​ 是面的面积，QFQF​ 是一个 4x4 矩阵。这一过程会为每个顶点累积所有相邻面 FF 的度量：

   Qv=∑F∈N(v)QFQv​=F∈N(v)∑​QF​

   其中 N(v)N(v) 是与顶点 vv 相邻的所有面。

3. 边折叠的二次度量：
   在选择边折叠时，要计算通过折叠边 e=(v1,v2)e=(v1​,v2​) 后得到的新顶点 v′v′ 的误差：

   Qe=Qv1+Qv2Qe​=Qv1​​+Qv2​​

   对于给定的新顶点 v′v′，应计算其代价：

   Cost(v′)=v′TQev′Cost(v′)=v′TQe​v′

   这是一个关于新顶点位置的二次形式，您可以通过求导来找到使成本最小的 v′v′。

4. 求解最小值：
   为了最小化代价，我们对 Cost(v′)Cost(v′) 进行求导并设置为零，得到：

   Qev′=0Qe​v′=0

   如果 QeQe​ 是非奇异的，可以求解出合并后的顶点 v′v′。