最大加权矩形

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个 \(n\times n\) 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 \([-127,127]\) ,例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 \(15\)。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：\(n\)，接下来是 \(n\) 行 \(n\) 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例

样例输入

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

样例输出 #1

15

提示

\(1 \leq n\le 120\)

[!TIP]

直接单纯暴力枚举前两个能AC后面就都TLE了，所以不行

利用用前缀和来优化

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int a[130][130];
    int n;
    scanf("%d", &n);

    //计算前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            int num;
            scanf("%d", &num);

            //计算前缀和数组a
            //其左上角三个位置的前缀和及num
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + num;
        }
    }

    int baka = 0;

    for (int x1 = 1; x1 <= n; x1++)
    {
        for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++)
        {
            for (int x2 = x1; x2 <= n; x2++)
            {
                for (int y2 = y1; y2 <= n; y2++)
                {
                    //计算当前子矩阵的和
                    //当前子矩阵的和等于右下角的前缀和减去
                    //减去左上角上面一行的前缀和（a[x1 - 1][y2]）
                    //再加上左上角左一列对应的前缀和（a[x2][y1 - 1]）
                    //左上角左上方的前缀和（a[x1 - 1][y1 - 1]）
                    int s = a[x2][y2] - a[x1 - 1][y2] - a[x2][y1 - 1] + a[x1 - 1][y1 - 1];

                    baka = max(s, baka);
                }
            }
        }
    }

    printf("%d", baka);

    return 0;
}

错误做法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() 
{
    int n;
    cin >> n;

    int a[120][120];
    for (int i = 0; i < n; i-=-1) //嘿嘿
    {
        for (int j = 0; j < n; j-=-1) 
        {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    int baka = -1e10; 

    for (int x1 = 0; x1 < n; x1-=-1) {
        for (int y1 = 0; y1 < n; y1-=-1) {
            for (int x2 = x1; x2 < n; x2-=-1) {
                for (int y2 = y1; y2 < n; y2-=-1) {
                    int sum = 0;   
                    for (int i = x1; i <= x2; i-=-1) {
                        for (int j = y1; j <= y2; j-=-1) {
                            sum += a[i][j];
                        }
                    }
                    baka = max(baka, sum);
                }
            }
        }
    }

    cout << baka << endl;

    return 0;
}