必修一对数函数知识点

文章目录

• 对数函数
• • 概念
  • 性质
  • 与对数有关的其他函数性质
  • 例题

对数函数

概念

一般地，把函数 y = log ⁡ a x ( a > 0 y=\log_ax(a>0 y=loga​x(a>0 且 a ≠ 1 ) a\neq1) a=1) 叫做对数函数，其中 x x x 是自变量，定义域是 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞)。

可能的坑：判断 f ( x ) = 2 log ⁡ 4 x f(x)=2\log_4x f(x)=2log4​x 是不是对数函数 答案：是， 2 log ⁡ 4 x = log ⁡ 2 x 2\log_4x=\log_2x 2log4​x=log2​x。

性质

1. 对数函数 y = log ⁡ a x y=\log_ax y=loga​x 与指数函数 y = a x y=a^x y=ax 关于直线 y = x y=x y=x 对称。

   → \to → 它们互为反函数，可以根据指数函数性质来推对数函数性质。（如果你知道反函数的性质的话）

2. 定义域： ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞) 值域： R \R R

3. 单调性： a > 1 a>1 a>1 时，在定义域上单调递增， 0 < a < 1 0<a<1 0<a<1 时在定义域上单调递减。

4. 图像过定点 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)。

5. y y y 轴右侧的图像，底大图低。

与对数有关的其他函数性质

1. 常见奇偶函数：

   ​ 奇函数： log ⁡ a k + x k − x \log_a\frac{k+x}{k-x} loga​k−xk+x​、 log ⁡ a ∣ k − x k + x ∣ \log_a|\frac{k-x}{k+x}| loga​∣k+xk−x​∣、 log ⁡ a ( ( k x ) 2 + 1 ± a x ) \log_a(\sqrt{(kx)^2+1}\pm ax) loga​((kx)2+1 ​±ax)

   ​ 偶函数： log ⁡ a ∣ x ∣ \log_a|x| loga​∣x∣

   注： log ⁡ a k + x k − x = log ⁡ a ( k + x ) − log ⁡ a ( k − x ) \log_a\frac{k+x}{k-x}=\log_a(k+x)-\log_a(k-x) loga​k−xk+x​=loga​(k+x)−loga​(k−x) 注意变形。

例题

1. 已知函数 f ( x ) = lg ⁡ ( a x 2 + 2 x + 1 ) f(x)=\lg(ax^2+2x+1) f(x)=lg(ax2+2x+1) ，若 f ( x ) f(x) f(x) 的值域为 R \R R ，则实数 a a a 的取值范围为___。

​ 解： f ( x ) ∈ R → a x 2 + 2 x + 1 f(x)\in\R \to ax^2+2x+1 f(x)∈R→ax2+2x+1 的值域 ⊇ ( 0 , + ∞ ) \supseteq(0,+\infty) ⊇(0,+∞)

​ 1 ° a = 0 1\degree a=0 1°a=0 则 2 x + 1 ∈ R ⊇ ( 0 , + ∞ ) 2x+1\in\R\supseteq(0,+\infty) 2x+1∈R⊇(0,+∞)

​ 2 ° a > 0 2\degree a>0 2°a>0 则 Δ = 4 − 4 a ≥ 0 \Delta=4-4a\ge0 Δ=4−4a≥0 解得 a ∈ ( 0 , 1 ] a\in(0,1] a∈(0,1]

​ 综上， a ∈ [ 0 , 1 ] a\in[0,1] a∈[0,1]。

2. 指数函数 f ( x ) = log ⁡ a ( x − 1 ) + 2 f(x)=\log_a(x-1)+2 f(x)=loga​(x−1)+2 恒过定点___。

​ 解：指数函数恒过 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)，考虑平移得 ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2)。

3. 指数函数 f ( x ) = log ⁡ a ( 8 − 3 a x ) f(x)=\log_a(8-3ax) f(x)=loga​(8−3ax) 在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1] 上是减函数，求 a a a 的取值范围___。

   解： a > 0 a>0 a>0 且 a ≠ 1 → 8 − 3 a x a\neq 1\to8-3ax a=1→8−3ax 递减，

   ​ “同增异减” 得 a > 1 a>1 a>1

   ​ 真数大于 0 0 0 得 ( 8 − 3 a x ) m i n > 0 (8-3ax)_{min}>0 (8−3ax)min​>0， x = 1 x=1 x=1 带入解得 a < 4 3 a<\frac{4}{3} a<34​

   ​ 综上， a ∈ ( 1 , 4 2 ) a\in(1,\frac{4}{2}) a∈(1,24​)。

4. 已知函数 f ( x ) = log ⁡ a ( 10 + x ) − log ⁡ a ( 10 − x ) f(x)=\log_a(10+x)-\log_a(10-x) f(x)=loga​(10+x)−loga​(10−x)， a > 0 a>0 a>0 且 a ≠ 1 a\neq 1 a=1 ，解不等式： f ( x ) > 0 f(x)>0 f(x)>0

​ 解：(抽象函数不等式考虑单调性)易证 f ( x ) f(x) f(x) 为奇函数， f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0

​ f ( x ) > 0 → f ( x ) > f ( 0 ) f(x)>0\to f(x)>f(0) f(x)>0→f(x)>f(0)

​ 1 ° a > 1 1\degree a>1 1°a>1 时

​ log ⁡ a ( 10 + x ) \log_a(10+x) loga​(10+x) 递增， log ⁡ a ( 10 − x ) \log_a(10-x) loga​(10−x) 递减，则 − log ⁡ a ( 10 − x ) -\log_a(10-x) −loga​(10−x) 递增

​ 故 f ( x ) f(x) f(x) 递增，结合定义域 x ∈ ( 0 , 10 ) x\in(0,10) x∈(0,10)

​ 2 ° 0 < a < 1 2\degree 0<a<1 2°0<a<1 时，与上面一种情况恰恰相反， x ∈ ( − 10 , 0 ) x\in(-10,0) x∈(−10,0)

​ 综上， 0 < a < 1 0<a<1 0<a<1 时 x ∈ ( − 10 , 0 ) x\in(-10,0) x∈(−10,0) ， a > 1 a>1 a>1 时 x ∈ ( 0 , 10 ) x\in(0,10) x∈(0,10)