题目 设数列$\{a_n\}$的首项为$a_1=2,$ 且当$n\geq2$时满足递推关系式$\dfrac{a_n-1}{n-1}=\dfrac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}.$ 则不大于$\displaystyle{\sum_{n=1}^{100}a_n^2}$的最大整数为
$\textbf{(A) } 338550 \qquad \textbf{(B) } 338551 \qquad \textbf{(C) } 338552 \qquad \textbf{(D) } 338553 \qquad \textbf{(E) } 338554$
解
对递推关系式通分可以得到$na_n-n=(n-1)a_{n-1}+n-1,$ 考虑到$n^2-(n-1)^2=2n-1,$ 因此我们能注意到递推关系式等价于\begin{align*}
na_n-n^2=(n-1)a_{n-1}-(n-1)^2,
\end{align*}
因此可知$na_n-n^2=1\times a_1-1^2=1,$ 故$a_n=\dfrac{n^2+1}{n}$(根据递推关系算前几项也可以猜到相同的结果). 因此\begin{align*}
\sum_{n=1}^{100}a_n^2=&\sum_{n=1}^{100}n^2+\sum_{n=1}^{100}2+\sum_{n=1}^{100}\dfrac{1}{n^2}\\=&\dfrac{100\times 101\times 201}{6}+200+\sum_{n=1}^{100}\dfrac{1}{n^2}\\=&338550+\sum_{n=1}^{100}\dfrac{1}{n^2}.
\end{align*}
熟知$\displaystyle{1 < \sum_{n=1}^{100}\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{\pi^2}{6}<2,}$ 故不大于$\displaystyle{\sum_{n=1}^{100}a_n^2}$的最大整数为$338551.$ 选$\textbf{(B) }.$