解题报告：论对“多元环”的新理解

这道题真的把我创红温了。。。直到最后看题解才恍然大悟。

推荐这道题的原因：十分板。在以后的学习中，我们还会遇到很多多元环，都可以这样处理。

在做题的时候，我有过很多想法。观察到了一切性质，都不能用。绕来绕去，还是死在了 \(O(n^3)\) 上。

其中，我想到了一条性质：如果 \(i,j,k\) 在一个环上，那么 \(a_{i,j}=1\)，且 \(a_{k,i}\) 和 \(a_{k,j}\) 都是 \(1\)。但是从这里开始，我就想偏了。尝试过很多种方法，但是都是 \(O(ans)\) 的，全部不可行。

其实我思路偏一点点就能想到正解。\(ans=n^3\)，那我把它拆成 \(n^2\times n\)，再优化一个 \(n\) 就可以了。

我当时想歪的原因是，\(a_{k,i}=a_{k,j}=1\)，而不是 \(a_{i,k}=a_{j,k}\)。想到了这一点，就可以用 \(\texttt{bitset}\) 的 \(\&\) 运算符优化了。

为什么这很版？这是因为我们只需要选定一半的点即可，剩下的靠 \(\&\)。比如四元环 \(h,i,j,k\)，我们只枚举 \(i,j\)，然后 \(\&\) 一下，最后 \(C_{count}^2\) 一下就好了。至于五元环以上，至今还没有碰到，所以这是一个根号级别的优化 \(\texttt{Trick}\)。