能用卷积实现的滤波器都是FIR滤波器，都是物理可实现的。Gonzalez可笑的理想滤波器，还反复强调物理不可实现。都采样了，咋就不可物理实现呢？不丝滑归不丝滑。
FIR和IIR滤波器的常系数差分方程
FIR (Finite Impulse Response, 有限脉冲响应) 和IIR (Infinite Impulse Response, 无限脉冲响应) 滤波器的常系数差分方程描述了滤波器的输入和输出之间的数学关系。
FIR滤波器的差分方程
一个N阶FIR滤波器的差分方程可以表示为：
y [ n ] = ∑ k = 0 N b k x [ n − k ] y[n] = \sum_{k=0}^{N} b_k x[n-k] y[n]=k=0∑Nbkx[n−k]
其中：
-
y
[
n
]
y[n]
y[n]是输出序列。
-
x
[
n
]
x[n]
x[n]是输入序列。
-
b
k
b_k
bk是滤波器的系数，也称为抽头权重。
-
N
N
N是滤波器的阶数，即延迟元素的数量。
这个方程表明，FIR滤波器的输出是输入信号的加权和，每个输入样本乘以相应的系数 b k b_k bk。
卷积公式 y [ n ] = ( x ∗ h ) [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] h [ n − k ] y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k] y[n]=(x∗h)[n]=∑k=−∞∞x[k]h[n−k]。FIR滤波器的差分方程就是卷积公式。
IIR滤波器的差分方程
一个M阶IIR滤波器的差分方程可以表示为：
y [ n ] = ∑ k = 0 M b k x [ n − k ] − ∑ k = 1 P a k y [ n − k ] y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k] - \sum_{k=1}^{P} a_k y[n-k] y[n]=k=0∑Mbkx[n−k]−k=1∑Paky[n−k]
其中：
-
y
[
n
]
y[n]
y[n]是输出序列。
-
x
[
n
]
x[n]
x[n]是输入序列。
-
b
k
b_k
bk是前向路径的系数。
-
a
k
a_k
ak是反馈路径的系数。
-
M
M
M是前向路径的最大延迟。
-
P
P
P是反馈路径的最大延迟。
这个方程表明，IIR滤波器的输出不仅依赖于输入信号的加权和，还依赖于过去输出的加权和。这种反馈机制使得IIR滤波器能够实现更复杂的频率响应，并且在某些情况下可以更有效地实现所需的滤波特性。
卷积公式 y [ n ] = ( x ∗ h ) [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] h [ n − k ] y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k] y[n]=(x∗h)[n]=∑k=−∞∞x[k]h[n−k]假设 h [ n ] h[n] h[n]是有限长的。对于IIR滤波器，由于冲激响应 h [ n ] h[n] h[n]是无限长的，IIR滤波器通常不能直接用卷积来实现。卷积操作假设冲激响应是有限长的，而IIR滤波器的无限长冲激响应会导致卷积计算无法收敛，从而无法直接应用卷积公式。
IIR滤波器通常具有递归结构，即输出不仅依赖于当前和过去的输入，还依赖于过去的输出。这种结构使得IIR滤波器在频率响应和相位特性方面具有优势，但不适合直接用卷积实现。
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