LeetCode题练习与总结：排列硬币--441

一、题目描述

你总共有 n 枚硬币，并计划将它们按阶梯状排列。对于一个由 k 行组成的阶梯，其第 i 行必须正好有 i 枚硬币。阶梯的最后一行 可能 是不完整的。

给你一个数字 n ，计算并返回可形成 完整阶梯行 的总行数。

示例 1：

输入：n = 5
输出：2
解释：因为第三行不完整，所以返回 2 。

示例 2：

输入：n = 8
输出：3
解释：因为第四行不完整，所以返回 3 。

提示：

• 1 <= n <= 2^31 - 1

二、解题思路

这个问题可以通过数学方法解决。首先，我们知道每一行的硬币数是递增的，第 i 行有 i 枚硬币。因此，如果我们要排列 k 行，总共需要的硬币数是 1 + 2 + 3 + … + k = k * (k + 1) / 2。

我们的目标是找到一个最大的 k，使得 k * (k + 1) / 2 <= n。我们可以通过以下步骤找到这个 k：

1. 使用二分查找法，在 1 到 n 之间查找合适的 k。
2. 对于每个中间值 mid，计算 mid * (mid + 1) / 2。
3. 如果这个值小于或等于 n，则尝试更大的值（右半部分）。
4. 如果这个值大于 n，则尝试更小的值（左半部分）。
5. 当左边界超过右边界时，停止搜索，此时的左边界减一就是答案。

三、具体代码

class Solution {
    public int arrangeCoins(int n) {
        int left = 1, right = n;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            long coinsUsed = (long) mid * (mid + 1) / 2;
            if (coinsUsed == n) {
                return mid; // 找到了一个完全匹配的阶梯
            } else if (coinsUsed < n) {
                left = mid + 1; // 尝试更大的 k
            } else {
                right = mid - 1; // 尝试更小的 k
            }
        }
        return right; // 当循环结束时，right 是最后一个满足条件的 k
    }
}

这段代码使用了二分查找来高效地找到最大的 k，使得 k * (k + 1) / 2 <= n。在每次迭代中，我们计算了中间值 mid 所需要的硬币数，并根据比较结果调整搜索范围。最后，当循环结束时，right 指向的就是最大的 k。

四、时间复杂度和空间复杂度

1. 时间复杂度

该算法使用了二分查找的方法来找到最大的 k，使得 k * (k + 1) / 2 <= n。在二分查找中，每次迭代都将搜索范围减半，因此算法的时间复杂度与迭代的次数有关。

设 n 为输入的硬币数量，每次迭代搜索范围减半，直到搜索范围为 1。二分查找的迭代次数 T 可以通过以下公式表示：

T = log2(n)

因此，算法的时间复杂度为 O(log n)，即对数时间复杂度。

2. 空间复杂度

空间复杂度是指算法在执行过程中临时占用存储空间的大小。在上述代码中，除了输入参数 n 和几个整型变量 left、right、mid、coinsUsed 之外，没有使用额外的数据结构来存储数据。

这些变量占用的空间是常数级别的，与输入规模 n 无关。因此，算法的空间复杂度为 O(1)，即常数空间复杂度。

五、总结知识点

• 二分查找算法：

  • 二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法，其时间复杂度为 O(log n)。
  • 代码通过 left 和 right 指针来维护当前搜索的范围，并在每次迭代中通过计算 mid 来缩小搜索范围。

• 整数溢出问题：

  • 在计算 coinsUsed 时，使用了 (long) 强制类型转换，以避免在乘法操作中发生整数溢出。这是因为 mid * (mid + 1) 可能会超出 int 类型的最大值。

• 算术运算：

  • 代码中使用了算术公式 mid * (mid + 1) / 2 来计算前 mid 项的和，这是等差数列求和的一个特例。

• 循环控制：

  • 使用 while 循环来持续进行二分查找，直到 left 超过 right。

• 条件判断：

  • 使用 if-else 语句来根据 coinsUsed 与 n 的比较结果来调整搜索范围。

• 整数除法：

  • 在计算 mid 时，使用了整数除法 left + (right - left) / 2 来避免直接使用 (left + right) / 2 可能导致的整数溢出。

• 边界条件处理：

  • 在循环结束后，返回 right 作为结果，这是因为当 coinsUsed 大于 n 时，我们需要返回最后一个满足条件的 k，即 right。

以上就是解决这个问题的详细步骤，希望能够为各位提供启发和帮助。