[lnsyoj1801/luoguP2051/AHOI2009] 中国象棋

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题意

在 \(n \times m\) 大小的棋盘上放无标号棋子，使得任何一行或一列都不多于 \(2\) 个棋子，求方案数

sol

计数题，优先考虑 dp。
由于每行每列棋子不多于两个，所以我们可以计 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 行中，\(j\) 列恰好 \(1\) 个棋子，\(k\) 列恰好 \(2\) 个棋子的方案数。
状态转移也就出来了，比较繁琐，需要细推，注意取模

\[\begin{align} f_{i,j,k} =& f_{i-1,j,k} \nonumber \\ +& f_{i-1,j-1,k} \cdot [m-(j-1)-k] \nonumber \\ +& f_{i-1,j+1,k-1} \cdot (j+1) \nonumber \\ +& f_{i-1,j-2,k} \cdot \frac{[m-(j-2)-k]\cdot [m-(j-2)-k-1]}{2} \nonumber \\ +& f_{i-1,j+2,k-2} \cdot \frac{(j+2)\cdot(j+2-1)}{2} \nonumber \\ +& f_{i-1,j,k-2} \cdot [m-j-(k-1)]\cdot j \nonumber \end{align} \]

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 105, mod = 9999973, INV2 = 4999987;

int f[N][N][N];
int n, m;

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    f[0][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for (int j = 0; j <= m; j ++ ) {
            for (int k = 0; k <= m - j; k ++ ) {
                f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
                if (j >= 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j - 1][k] * (m - (j - 1) - k) % mod) % mod;
                if (k >= 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j + 1][k - 1] * (j + 1) % mod) % mod;
                if (j >= 2) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + (LL) f[i - 1][j - 2][k] * (m - (j - 2) - k) % mod * (m - (j - 2) - k - 1) % mod * INV2 % mod) % mod;
                if (k >= 2) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + (LL) f[i - 1][j + 2][k - 2] * (j + 2) % mod * (j + 2 - 1) % mod * INV2 % mod) % mod;
                if (k >= 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j][k - 1] * (m - j - (k - 1)) % mod * j % mod) % mod;
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i ++ )
        for (int j = 0; j <= m - i; j ++ )
            ans = (ans + f[n][i][j]) % mod;
    
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

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