Ch4 不定积分 --学习笔记

时间：2024-11-09 17:44:48浏览次数：3

标签：4.1 函数 -- 积分不定积分被积原函数 Ch4

简单来讲，求解积分的过程实际上就是求导的逆过程，微分与积分互为互逆运算。

4.1.1 不定积分的概念

定义1 设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数 F(x)，对于任意x∈I都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数

对于此概念需要注意的是，受制于常数项C，若有一个原函数F(x),原函数必然存在无穷多个原函数F(x)+C。

定义2 如果函数F(x)是函数f(x)在区间 I 上的一个原函数，则称f(x)的全体原函数的集合{F(x)+C|C∈ $\mathbb{R}$ }为f(x)在区间 I 上的不定积分,记为 $\int f(x)dx$ ,即

$\int f(x)dx=\left \{ F(x)+C|C\in\mathbb{R} \right \}$

简记为 $\int f(x)dx=F(x)+C$

∫ 称为积分号,f(x)称为被积函数,x为积分变量,特别需要注意的是,从积分开始我们的运算将不仅仅限制于x的运算,被积变量见会出现多种不同的变量.

4.1.2可积的条件

定理1 如果f(x)在区间 I 上连续,那么f(x) I 上必然存在原函数,即连续函数必有原函数.

从定理1 我们可以看出,与可导的条件--光滑相比,积分运算的条件要更容易满足.

4.1.3积分的几何意义

称任一原函数的图像为被积函数的一条积分曲线，其全体原函数的图像称为被积函数的积分曲线簇，即积分的几何意义实际上是求出了原函数的一组图像。

4.1.4不定积分的性质

性质1 $\left [ \int f(x)dx \right ]{}'=f(x)$ 或 $d\int f(x)dx =f(x)dx$

对积分进行求导会回到被积函数，对积分进行微分会回到被积函数，性质1实际上说明了积分与微分互为逆运算。

性质2 $\int_{}^{}f{(x)}'dx=f(x)+C$ 或 $\int df(x)=f(x)+C$

性质2的右侧公式实际上等价于 $\int 1df(x)=f(x)+C$ ，即以f(x)为积分变量对1求积分，这里就体现出了积分变量的多样化，因此在求解定积分的过程中，要关注积分变量。

性质3 $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\left ( k\neq 0 \right )$

性质4 $\int \left [ f(x)+g(x) \right ]dx=\int f(x)dx +\int g(x)dx$

由性质3和4我们可以得到更一般的结论

性质5 $\int \left [ k1f1(x)+k2f2(x)+...knfn(x) \right ]dx=k1\int f1(x)dx+k2\int f2(x)dx+...kn\int fn(x)dx$

即 $\int \left [ \sum_{i=1}^{n} kifi(x)\right ]dx=\sum_{i=1}^{n}ki\left [ \int fi(x)dx \right ]$

而这说明不定积分运算是一个线性运算。

4.1.5直接积分法

利用不定积分的定义求解不定积分往往并不方便，于是选择借助不定积分的性质和基本积分表，利用适当的数学运算求解不定积分，这种方法称为不定积分法。

标签：4.1,函数,--,积分,不定积分,被积,原函数,Ch4
From： https://blog.csdn.net/g_l_s_y/article/details/143641674

前端八股（1）
跟着视频捋八股，效果还是可以的，就是得需要先有基础才能听得懂讲啥以下是一些八股记录（简单版），可以帮助记忆关键词，从而后续自己拓展目录一、CSS1.说一下css的盒模型2.csS选择器的优先级?3.隐藏元素的方法有哪些?4.px和rem的区别是什么?5.重绘重排有什么区别?6.让一个元素......
前端八股（2）
第二部分，也是简单版，记录下目录第一部分四、vue1.v-if和v-show的区别?2.如何理解MVVM的?3.v-for中的key值的作用是什么?4.说一下你对vue生命周期的理解5.在created和mounted去请求数据，有什么区别?6.vue中的修饰符有哪些?7.elementui是怎么做表单验证的?8.vue如何进行......
MMPRETRAIN训练自己数据集全流程
本文主要对mmpretrain训练自己数据集进行了一个分布讲解1、训练环境配置mmpretrain下载路径：open-mmlab/mmpretrainatv1.2.0环境配置具体内容在下述文章中有具体讲解：MMPRETRAIN安装环境配置指南_mmpretrain的安装-CSDN博客2、划分自己的数据集数据集划分代码及讲解在下述......
优化布线拥塞
Note：文章内容以Xilinx系列 FPGA进行讲解随着设计规模的增大和复杂度的提升，布线拥塞成为常见的问题，尤其是在用UltraScaleFPGA或UltraScale+FPGA时，布线拥塞往往成为时序收敛的瓶颈，也成为编译时间过长的“罪魁祸首”。1、布线拥塞的三种类型 ......
蜜汁题
在已知IP地址和子网掩码的情况下，可以通过"与"运算（按位与）来确定网络号。具体步骤如下：步骤将IP地址和子网掩码转换为二进制格式。将二进制的IP地址和子网掩码逐位进行与运算。得到的结果就是网络号。示例假设已知以下信息：IP地址：192.168.1.10子网掩码：255.255.255.01.将......
gem5 学习三 —— gem5 Event
在本文中，我将探讨在gem5模拟器中如何创建、调度事件，并深入理解背后的原理。Eventgem5是一个事件驱动（Event-driven）的模拟器。在事件驱动模型中，每个事件（Event）都有一个回调函数用于处理事件。官方教程是基于HelloObject开始，创建和调度事件。下面我们也以HelloObject类代码为......
程序员 SEO 系列：如何找到更多搜索关键词？
本文分享有效的关键词挖掘策略，帮助你识别低竞争、高流量的蓝海关键词，提升网站排名并带来持续流量增长。了解如何通过竞品分析、长尾词挖掘等方法，发掘适合你网站的关键词，快速提升SEO效果。一、关键词研究（挖词）的目的？SEO挖词的目的是通过深入Research和识别有流量潜力的关键词......
gem5 学习三 —— gem5 Objects
ObjectSimobject类是一个非常复杂但又十分重要的类。它在Gem5中占有及其重要的地位。gem5的模块化设计是围绕SimObject类型构建的。模拟系统中的大多数组件都是SimObjects的子类，如CPUs,caches,memory,memorycontroller等。gem5将所有这些对象从其C++实现导出到P......
c语言中没有返回值的函数和不含形参的函数
001、没有返回值的函数[root@PC1test]#lstest.c[root@PC1test]#cattest.c##测试c程序#include<stdio.h>voidput_star(inta)//定义不含返回值的函数{while(a-->0)putchar('*');//函数中没有ret......
题解：P11248 [GESP202409 七级] 矩阵移动
笑点解析：这个人所在城市考试当天刮台风了，没考，免费送了一次12月的考试。设计这么一个东西：$dp_{i,j}$表示到格子$(i,j)$的最大分数。本来还好，但现在的问题是，如果这个格子是‘？’，我哪儿知道到底可不可以变啊？万一变得太多了，那，那不就废了！万一少了，那我分不就没了？所以我们......